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辽爱好者-1bk3(2047******) 23:20:27
求教
话说这道题我做起来实在有点不安，不是因为题目难，而是因为题目是手抄的，并且两行字里居然就涂划了四个地方！可见其马虎程度……哎算了，既然闲着，还是玩玩吧……
题目：对于 $i=1$, $2$, \ldots, $n$，都有 $x_i<1$，且
\[\abs{x_1}+\abs{x_2}+\cdots+\abs{x_n}=19+\abs{x_1+x_2+\cdots+x_n},\]
则正整数 $n$ 的最小值为\tk 。
解：显然各 $x_i$ 不能全部同号，又易见当 $n$ 取最小值时，$x_i$ 中不会有 $0$，这是因为去掉为 $0$ 的项后已知等式左右两边的值不变，$n$ 就可以更小，故此，再由对称性，我们可以不妨设
\[1>x_1\geqslant x_2\geqslant \cdots \geqslant x_k>0>x_{k+1}\geqslant x_{k+2}\geqslant \cdots \geqslant x_n,\]
其中 $k\in\mbb N^+$, $k<n$。
（1）若 $x_1+x_2+\cdots +x_n<0$，则已知等式化为
\[x_1+x_2+\cdots +x_k-x_{k+1}-x_{k+2}-\cdots -x_n=19-x_1-x_2-\cdots -x_n,\]
得到
\[\frac{19}2=x_1+x_2+\cdots +x_k<k\riff k\geqslant 10\riff n\geqslant 11;\]
（2）若 $x_1+x_2+\cdots +x_n\geqslant 0$，则有
\[-x_{k+1}-x_{k+2}-\cdots -x_n\leqslant x_1+x_2+\cdots +x_k<k,\]
已知等式化为
\[x_1+x_2+\cdots +x_k-x_{k+1}-x_{k+2}-\cdots -x_n=19+x_1+x_2+\cdots +x_n,\]
得到
\[\frac{19}2=-x_{k+1}-x_{k+2}-\cdots -x_n<k\riff k\geqslant 10\riff n\geqslant 11.\]
综合（1）（2）我们得到 $n\geqslant 11$，最后举一个 $n=11$ 的例子：$x_1=x_2=\cdots=x_{10}=0.95$, $x_{11}=-10$，它满足条件，所以 $n$ 的最小值就是 $11$。 |
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chr93918
Post time 2014-9-26 17:26
