昨晚人教群里一道简单二元含参不等式求参数最小

kuing

爱好者—V神(9802*****)  23:06:03

当 $a=b$ 时 $\lambda$ 能取 $\Bbb R$；当 $a\ne b$ 时，分离参数等价于
\[\lambda \geqslant \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}-\sqrt{ab}},\]
分子分母同时有理化，等价于
\[\lambda \geqslant \frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}},\]
注意到
\[\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}<\frac{\sqrt2(a+b)+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}<\sqrt2,\]
又当 $b\not\to0$ 时
\[\lim _{a\to 0}\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)}+2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt2,\]
故 $\lambda$ 的最小值为 $\sqrt2$。