来自某教师群的绝对值不等式恒成立$|x^2-ax-a^2|\le m$

kuing

广州王锦锦(7794*****) 11:13:37

这个题还有没其他解法呢？答案也没看明白

设 $p=\max\{\abs x,\abs a\}$, $q=\min\{\abs x,\abs a\}$，则
\begin{align*}
\abs{x^2-ax-a^2}&\leqslant \abs{x^2-a^2}+\abs{ax} \\
&=p^2-q^2+pq \\
&\leqslant 1-q^2+q \\
&=\frac54-\left( q-\frac12 \right)^2 \\
&\leqslant \frac54,
\end{align*}
当 $x=1$, $a=-1/2$ 时 $\abs{x^2-ax-a^2}=5/4$，所以 $\abs{x^2-ax-a^2}$ 的最大值为 $5/4$，所以 $m$ 的取值范围是 $[5/4,+\infty)$。

敬畏数学

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管理员的解法太神奇啦！！！

游客

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敬畏数学

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此法很简单啊！