突然发现当年撸高考题估计ln2那题我的解法有问题及修正

kuing

已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}-2 x$
（I）讨论$f(x)$的单调性
（II）设 $g(x) = f(2x) - 4bf(x)$ 当$x>0$时,$g(x)>0$,求$b$的最大值。
（III）已知 $1.4142 < \sqrt2 < 1.4143$,估计$\ln2$的近似值(精确到0.001)。

话说这道 2014 新课标II理数 21 的第（III）问，我当年的解法后面是酱紫的：

……
……
取 $x=\sqrt2$，即得
\[-\frac14+\frac23\sqrt2 < \ln2 < \frac{13}6-\frac{25}{24}\sqrt2,\]
由 $1.4142<\sqrt2$，得
\[-\frac14+\frac23\times1.4142 < \ln2 < \frac{13}6-\frac{25}{24}\times1.4142,\]
即
\[0.6928<\ln2<0.693541666\cdots,\]
所以 $\ln2 \approx 0.693$。

刚才突然发现其实最后是不足以推出 $\approx 0.693$ 的，注意右边是 $0.69354\cdots$，那么实际值有可能是 $0.69353\cdots$，那四舍五入时要入啊，也就是说并不能排除 $\approx 0.694$ 的可能性，估计式仍然不够精确！

糟了，《撸题集》和《憋间》都得发勘误了，真麻烦。

还好修正是不难的，方法可以照用，继续增大次数就可以增大精度，比如说改成这样：
（III）下面先证明，当 $x\geqslant 1$ 时，恒有
\[
\frac{-x^2+8x-8x^{-1}+x^{-2}}{12}
\leqslant \ln x \leqslant
\frac{x^3-9x^2+45x-45x^{-1}+9x^{-2}-x^{-3}}{60},
\]
两边的等号都仅当$x=1$取得。

左边由第（II）问结论可以得出，只需证右边，令
\[k(x)=x^3-9x^2+45x-45x^{-1}+9x^{-2}-x^{-3}-60\ln x,\]
则 $k(1)=0$，求导得
\begin{align*}
k'(x)&=3x^2-18x+45+45x^{-2}-18x^{-3}+3x^{-4}-60x^{-1}\\
&=\frac{3(x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1)}{x^4}\\
&=\frac{3(x-1)^6}{x^4},
\end{align*}
可见对任意 $x\geqslant 1$ 都有 $k(x)\geqslant 0$，即得证。

取 $x=\sqrt2$，即得
\[-\frac14+\frac23\sqrt2 < \ln2 < -\frac9{20}+\frac{97}{120}\sqrt2,\]
由 $1.4142<\sqrt2<1.4143$，得
\[-\frac14+\frac23\times1.4142 < \ln2
< -\frac9{20}+\frac{97}{120}\times1.4143,\]
左边直接计算出为 $0.6928$，右边我们再放缩一下，以方便计算，
由 $1.4143<14144/10000=884/625$ 得
\[-\frac9{20}+\frac{97}{120}\times1.4143
<-\frac9{20}+\frac{97}{120}\cdot\frac{884}{625}
=\frac{25999}{37500}<\frac{26000}{37500}=\frac{52}{75},\]
所以
\[0.6928<\ln2<\frac{52}{75}=0.69333\cdots ,\]
所以 $\ln2 \approx 0.693$。

PS、这右边的估计比标答的还要精确一些。

力工

扎克治学严谨！

血狼王

回复 1# kuing


原式右边那个数的实际值是
$$\frac{13}{6}-\frac{25}{24}\sqrt{2}\approx 0.69352753......$$
看来跟k说的差不多。
原式确实不够精确。

血狼王

回复 1# kuing


为什么《数学空间》要叫《憋间》呢？
请教

kuing

回复 4# 血狼王

因为当年数学空间出得很艰难，由上交PDF，到官网发布，有时要等好久，这就像拉BB时憋了很久就是憋不出来的样子，故而产生憋间之称呼……

血狼王

回复 5# kuing


现在又在憋了吗

kuing

回复 6# 血狼王

去年就憋死了

血狼王

回复 7# kuing


憋死了？
默哀一分钟{:time:}

依然饭特稀

严谨，严谨，严谨

Jan

好的想法……能用泰勒展开吗?

Infinity

回复 10# Jan

使用泰勒级数要特别注意收敛速度\[\ln\frac{1+x}{1-x}=2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5})\quad(0<x<1)\]令$x=1/3$，有$\ln 2\approx0.693004...$，若再多取一项(括号内多一项$\frac{x^7}{7}$），近似值变为$\ln 2\approx 0.693135...$
因为收敛速度比较快，这个级数取得较少的项就能得到较为精确的结果。

血狼王

回复 11# Infinity


这个公式挺有用的，可以改成一道证明题：
当$x\in [0,1]$时，求证
$$\ln (\frac{1+x}{1-x})\geq 2(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}).$$

Infinity

回复 12# 血狼王

嗯，记住有用的结论有时候会很有用，似乎kuing记的就挺多的。

力工

回复 13# Infinity
kuing是研究得深，基本刻在心里了。