过抛物线焦点垂直两弦和的小最值（2017年全国卷I第10题）

isee

题如下：

已知$F$为抛物线$y^2 = 4x$的焦点，过$F$作两条互相垂直$l_1$，$l_2$，直线$l_1$与抛物线相交于$A$、$B$两点，直线$l_2$与抛物线相交于$C，D$两点，则$\left| AB \right| + \left| CD \right|$的最小值为（ A  ）
A．16        B．14        C．12        D．10


个人熟悉下极坐标下的圆锥曲线，故而丢上来。

色k

题目麻烦打正确……

色k

顺便丢个链接给你：forum.php?mod=viewthread&tid=3901

isee

(以抛物线焦点为极点，平行于抛物线主轴向右）建立如图极坐标系$Ox$,则由抛物线定义，$$\frac {\rho}{\rho \cos \theta +2}=1.$$





化简即是此抛物线在极坐标系中的方程$$\rho=\frac 2{1-\cos \theta}.$$

如图，记$A(\rho_1,\theta)$，则$B(\rho_2,\theta+ \mathrm{\pi})$,$C(\rho_3,\theta-\frac {\mathrm{\pi}}2)$,$D(\rho_4,\theta+\frac {\mathrm{\pi}}2)$.

于是\begin{align*}\abs{AB}+\abs{CD}
&=\rho_1+\rho_2+\rho_3+\rho_4\\
&=\frac 2{1-\cos \theta}+\frac 2{1+\cos \theta}+\frac 2{1-\sin \theta}+\frac 2{1+\sin \theta}\\
&=\frac 4{1-\cos^2 \theta}+\frac 4{1-\sin^2 \theta}\\
&=\frac 4{\sin^2 \theta}+\frac 4{\cos^2 \theta}\\
&\geqslant \frac {(2+2)^2}{\sin^2\theta+\cos ^2\theta}\\
&=16
\end{align*}

取等时号，$\theta=\frac {\mathrm{\pi}}4$.

isee

顺便丢个链接给你：
色k 发表于 2017-6-10 14:26

    改了改了，原来你早有研究啊，一会看看。。。

色k

回复 5# isee

还是没改好啊：
1、F是焦点，不是交点；
2、后面“直线l2与C交于D两点”……
有图片版不？

isee

回复  isee

还是没改好啊：
1、F是焦点，不是交点；
2、后面“直线l2与C交于D两点”……
有图片版不？ ...
色k 发表于 2017-6-10 15:03

反正都已经被你订正完了，不帖图了，哈哈。

敬畏数学

此题有点不公啊。鼓励大家多玩题即可秒掉的

其妙

此题有点不公啊。鼓励大家多玩题即可秒掉的
敬畏数学 发表于 2017-6-10 16:21

那个焦点弦长是有结论的，书上没有用极坐标证明，直接韦达定理就出来了，然后柯西就出来了（或者权方和），连续两次均值不等式放缩也可以

isee

是啊，不记任何公式的话，直角解析几何，很快就算结果了，所以，此帖标题没 正式 选为高考“难”题。

焦点弦弦长公式我发现，其实就是极坐标下的东东，刚才写了下，发现。

敬畏数学

这题猜猜就是45°，还要墨水吗？