二元不等式一条

v6mm131

已知$a,b>0,ab=1$,证明:$(a+2b+\frac{2}{a+1})(b+2a+\frac{2}{b+1})\ge16$

kuing

令 $a+b=p$，则
\[\LHS=\frac4{p+2}+2p^2+2p+3
=\frac4{p+2}+\frac{p+2}4+\frac14(p-2)(8p+23)+14\ge16.\]

v6mm131

回复 2# kuing

kk还是对代数不等式感兴趣

v6mm131

回复 3# v6mm131
接楼上，也可以用一下菊部
\[a+2b+\frac{2}{a+1}=\frac{a+1}{2}+\frac{2}{a+1}+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{3b}{2}-\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}b+\frac{5}{2}\]