能否用指数平均不等式来证明2016年全国卷的压轴题

lemondian

请问能否用指数平均不等式证明问题（2）？

isee

因为可以用对数均值不等式+反证法，所以，指数均值不等式理论上也是可以的（也应该用到反证法）。

lemondian

回复 2# isee

你说的，我看过。
想直接用一下指数均值不等式，但不知如何用

lemondian

对数不等式与反证法

zhcosin

话说这两个不等式不是等价的么， 在理论上，非要用指数均值的话，我先用指数均值证一下对数均值，然后。。。。

lemondian

回复 5# zhcosin


    直接用，如何？

lemondian

这里还有一个;

kuing

回复 7# lemondian

（1）`a>0`，过程略；

（2）因为 `a>0`，所以当 `x\geqslant1` 时必有 `f(x)>0`，所以其零点必然都小于 `1`，所以如果 `x_1`, `x_2` 中有一个 `\leqslant-1`，则显然 `x_1+x_2<0`，故剩下只需证明当 `x_1`, `x_2\in(-1,1)` 的情形。

由 `f'(x)=x(e^x+2a)` 知 `f(x)` 在 `(-\infty,0)` 上递减，在 `(0,+\infty)` 上递增，而当 `x\in(-1,1)` 时恒有 `f'''(x)=e^x(x+2)>0`，根据 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4042&pid=18036 的推论知 `x_1+x_2<0`。

综上得证。

lemondian

lemondian

有人帮解决一下主楼的问题么?
先谢了

游客

个人觉得这些问题都是有三个函数“$y=x,y=lnx,y=e^x$”派生出来的，观察、组合这三个函数应该会有很多有用的结果。出题目的人是在很多人研究这几个函数的基础上想出的一个问题，参加考试的人却是个新人，很是不科学。这样的题在开始时其实都出得不活也不难，然后越出越活，越出越难。

游客

kuing

回复 11# 游客

因为在一大轮漂移题刷过以后，一套接一套的套路已经成型，普通的都被玩烂，所以只能越出越活越出越难

isee

收回2#的话，原因是2#当时说的意思与5#一样。