一道不等式证明

敬畏数学

$ a，b\geqslant 0，a+b\geqslant 2 $，证明：$ \sqrt{4a^2+5}+\sqrt{4b^2+5}+\sqrt{4ab+5} \geqslant 9$

kuing

挺紧的，比以前撸过的类似题难多了。

时间关系粗略写写：
首先左边关于变量递增，因此只需证 `a+b=2` 的情形即可，此时令 `ab=t\in[0,1]`，易知不等式等价于
\[\sqrt{26-8t+2\sqrt{16t^2-40t+105}}+\sqrt{4t+5}\geqslant9,\]不难证明
\begin{align*}
\LHS&\geqslant\sqrt{26-8t+2\left( \frac59t^2-\frac{14}9t+10 \right)}+\sqrt{4t+5}\\
&\geqslant\frac{61t^2-142t+243}{27}-\sqrt5(1-t)^2+\sqrt{4t+5},
\end{align*}因此只需证
\[\sqrt{4t+5}\geqslant\sqrt5(1-t)^2+\frac{t(142-61t)}{27},\]平方分解易证之。

PS、看起来轻描淡写，其实做了大量运算[嘘]

敬畏数学

回复 2# kuing
高手，我看了整整一个半小时，貌似没有感觉，谢谢。既然这样，那还是不要搞这些意义不大的问题。再次感谢！可以删除就删除他。说实话，高手说的链接帖子里那个不等式的证明，我也整的头晕。

kuing

回复 3# 敬畏数学

？为啥你会觉得意义不大？我觉得还好啊，至少不等式的形式挺好，又够紧。我证得不好看，也不代表不存在精妙的证法。

力工

回复 3# 敬畏数学
这个太难了。可以玩玩这种：
已知$a,b,c,d>0$,求证：$\sum{\dfrac{a}{6a^2+3b^2+2c^2+d^2}}\leqslant \sum{\dfrac{1}{12a}}$.