看到绝对值就是绝望的感觉

facebooker

已知$a,b∈R$,函数$f(x)=|(1-|x|)(|x|+ax+b)|$在区间[-1,1]上的最大值记为$M(a,b)$,则$M(a,b)$的最小值为___

kuing

虽然是多绝对值，有点吓人，但其实套路无非还是那样：先猜出何时取等，知道取等点后凑绝对值不等式，不难。

通过想象图象，取等时应该是对称的，两边各一波，中间一个尖，且与波齐平，这时 `a` 是零，`b` 是负，注意波的顶点横坐标是 `x=(1-b)/2`，即应有 `f\bigl((1-b)/2\bigr)=f(0)`，解得 `b=2\sqrt2-3`，得到取等点 `x=2-\sqrt2`，分析完毕，然后就可以凑不等式过程了。

依题意，有
\begin{align*}
2\sqrt2M(a,b)={}&2\bigl(\sqrt2-1\bigr)M(a,b)+M(a,b)+M(a,b)\\
\geqslant{}&2\bigl(\sqrt2-1\bigr)f(0)+f\bigl(2-\sqrt2\bigr)+f\bigl(-2+\sqrt2\bigr)\\
={}&2\bigl(\sqrt2-1\bigr)\abs b+\bigl(\sqrt2-1\bigr)\bigl|2-\sqrt2+\bigl(2-\sqrt2\bigr)a+b\bigr|\\
&+\bigl(\sqrt2-1\bigr)\bigl|2-\sqrt2+\bigl(-2+\sqrt2\bigr)a+b\bigr|\\
\geqslant{}&\bigl(\sqrt2-1\bigr)\bigl|-2b+2\bigl(2-\sqrt2\bigr)+\bigl(2-\sqrt2\bigr)a+\bigl(-2+\sqrt2\bigr)a+2b\bigr|\\
={}&6\sqrt2-8,
\end{align*}所以
\[M(a,b)\geqslant\frac{6\sqrt2-8}{2\sqrt2}=3-2\sqrt2,\]不难验证 `a=0`, `b=2\sqrt2-3` 时 `M(a,b)=3-2\sqrt2`，所以这就是最小值。