椭圆内定点弦四边形面积最大值

dvkxgl

过椭圆$E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$内的一个定点$P(x_0,y_0)$作两条相交弦$AC,BD$.求四边形$ABCD$面积最大值? 可以求吗?如果不可以,再添一个条件设$AC,BD$夹角为定值$\theta$,又是否可求? 感觉好复杂.

dvkxgl

设$k_1,k_2$分别为$AC,BD$斜率,四边形面积表达式为
\[S=2{{a}^{2}}{{b}^{2}}|k_1-k_2|\frac{\sqrt{{{a}^{2}}k_{1}^{2}+{{b}^{2}}-m_{1}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}k_{2}^{2}+{{b}^{2}}-m_{2}^{2}}}{({{a}^{2}}k_{1}^{2}+{{b}^{2}})({{a}^{2}}k_{2}^{2}+{{b}^{2}})},\]
其中\[{{m}_{1}}={{y}_{0}}-{{k}_{1}}{{x}_{0}},\;\;\;{{m}_{2}}={{y}_{0}}-{{k}_{2}}{{x}_{0}}.\]

kuing

不限夹角应该不难弄，限定夹角反而难……

不限夹角时，可以先解决圆的情况，再作伸缩变换就是椭圆的了，但限定夹角的话就没法伸缩了……

当然这只是第一感觉，具体……晚上看有没有闲情再撸撸看吧……

zhcosin

没有夹角的情况下，把椭圆看成圆的投影，分分钟解决，限定了夹角的话。。。投影不好使了