椭圆 角 单调

hbghlyj

椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,A,B,C是第一象限内椭圆上的点,当点C运动时,求证$u=\angle ACB(0\le a\le 90^\circ)$是C的横坐标x(C)的单调递增函数.
图中点D的坐标是(x(C),3u),可以看到它是严格增的.

从这个定理可以推知:圆和椭圆相交于四点,则这四点不可能在同一象限内.
PS:论坛的附件的普通上传的可用扩展名没有.ggb,故将其压缩再上传
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2020-12-12 11:36 Upload

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hbghlyj

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楼主似乎把字母弄混了哦
角度还是用$\alpha$表示吧
a是椭圆的半长轴

hbghlyj

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2020-12-12 12:07 Upload

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设$\mu=\arctan\frac ab,A(a\cos\alpha,b\sin\alpha),B(a\cos\beta,b\sin\beta),C(a\cos\gamma,b\sin\gamma),$则$\angle ACB=$
\[\arctan\left(\frac{\sin 2 \mu  \sin \left(\frac{\abs{\alpha -\beta }}{2}\right)}{\cos 2 \mu  \cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}+\gamma \right)+\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}\right)\]
因为$\frac{\alpha +\beta }{2}+\gamma\in(0,\pi)$,在这个范围内$\cos$是严格减的,而且$\mu\in\left(\frac\pi4,\frac\pi2\right)$,所以$\sin{2\mu}>0>\cos{2\mu}$所以$\angle ACB$是$\gamma$的严格减函数.而$\gamma=\arccos\frac{x(C)}a$是x(C)的严格减函数.所以$\angle ACB$是x(C)的严格增函数.

hbghlyj

回复 2# hbghlyj
字母我已改了.我把原来的a改成u了.(方便打代码.因为\alpha需要按6下键).
还有一个事情,为什么您在我的ggb文件中添加了东西以后,压缩成的zip文件反而变小了(减小了1.18KB)
最重要的是,3楼的公式是怎么得到的?

kuing

...
从这个定理可以推知:圆和椭圆相交于四点,则这四点不可能在同一象限内.
...
ellipse 发表于 2020-12-12 11:42

标准方程椭圆上 `ABCD` 四点共圆，则 `k_{AC}+k_{BD}=0`。
假设它们都在同一象限，则 `k_{AC}`, `k_{BD}` 同号，所以不可能。

kuing

玩伸缩变换也可以。

在 `C` 左边再取一点 `P`，下面证明 `\tan\angle APB<\tan\angle ACB`，作圆 `x^2+y^2=a^2` 及四垂线交四点如下图。

记 `m=b/a\in(0,1)`，则
\begin{align*}
\tan\angle APB&=\frac{k_{PA}-k_{PB}}{1+k_{PA}k_{PB}}=\frac{mk_{P'A'}-mk_{P'B'}}{1+m^2k_{P'A'}k_{P'B'}},\\
\tan\angle ACB&=\frac{k_{CA}-k_{CB}}{1+k_{CA}k_{CB}}=\frac{mk_{C'A'}-mk_{C'B'}}{1+m^2k_{C'A'}k_{C'B'}},
\end{align*}所以等价于证
\[\frac{k_{P'A'}-k_{P'B'}}{k_{C'A'}-k_{C'B'}}<\frac{1+m^2k_{P'A'}k_{P'B'}}{1+m^2k_{C'A'}k_{C'B'}},\]而由 `\angle A'C'B'=\angle A'P'B'` 有
\[\frac{k_{P'A'}-k_{P'B'}}{k_{C'A'}-k_{C'B'}}=\frac{1+k_{P'A'}k_{P'B'}}{1+k_{C'A'}k_{C'B'}},\]所以等价于证
\[\frac{1+k_{P'A'}k_{P'B'}}{1+k_{C'A'}k_{C'B'}}<\frac{1+m^2k_{P'A'}k_{P'B'}}{1+m^2k_{C'A'}k_{C'B'}},\]由图形显然 `k_{C'A'}k_{C'B'}>k_{P'A'}k_{P'B'}>0`，故由 `m\in(0,1)` 可知上式成立，即得证。

hbghlyj

圆和椭圆若有两个交点,它们可以在任何一个或任何两个象限内.圆和椭圆若有四个交点,它们可以在四个象限,或者在任何三个象限,或者在任何两个象限内.但不可能全在一个象限内.
设$A(a\cos\alpha,b\sin\alpha),B(a\cos\beta,b\sin\beta),C(a\cos\gamma,b\sin\gamma),$则\[\angle ACB=\arctan\left(\frac{2ab  \sin \left(\frac{\abs{\alpha -\beta }}{2}\right)}{(-a^2+b^2)  \cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}+\gamma \right)+(a^2+b^2)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}\right)\]
圆和双曲线若有两个交点,它们可以在任何一个,或者双曲线的其中一支所在的两个象限内.圆和椭圆若有四个交点,它们可以在四个象限,或者在任何三个象限,或者在相邻的两个象限内.但不可能在相对的两个象限或全在一个象限内.
设$A(a\cosh\alpha,b\sinh\alpha),B(a\cosh\beta,b\sinh\beta),C(-a\cosh\gamma,b\sinh\gamma),$则\[\angle ACB=\arctan\left(\frac{2 a b \sinh \left(\frac{\abs{\alpha -\beta }}{2}\right)}{\left(a^2+b^2\right) \cosh \left(\frac{\alpha +\beta }{2}+\gamma \right)+(a^2-b^2) \cosh \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}\right)\]
证明:算出AC,BC的斜率,用正切的差角公式,然后化简.

hbghlyj

回复 3# hbghlyj
换成双曲线以后,a=b时,因为cosh在正半轴是严格增的,$\angle ACB$是$\gamma$的严格减函数,而$x(C)=-\cosh\gamma$是$\gamma$的严格减函数,所以$\angle ACB$是x(C)的严格增函数

kuing

回复 1# ellipse

你现在上传附件应该不限制扩展名，因为你今天发这帖之后就升了级（我看了下后台的设置是“论坛高手”以上不限制扩展名）

hbghlyj

回复 9# kuing
好滴。感谢各位解答。我认真地看完了。只是由于水平有限，论坛上的题都不会做.....我只能提问题，还没有帮助各位解决问题.....