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kuing
posted 2021-5-25 23:54
相当于证明 `OH\cdot OG` 为定值，于是沿 `y` 轴方向将图形拉伸，使椭圆变为圆，并不改变结论。
如上图，记圆半径为 `r`，则
\[\frac{OH\cdot OG}{r^2}=\tan\angle OAH\cdot\tan\angle OAG=\frac{DJ}{DA}\cdot\frac{CJ}{CA},\]注意 `\angle DJC=\angle DAC`，则有
\[\frac{DJ\cdot CJ}{DA\cdot CA}=\frac{\S{JCD}}{\S{ACD}}=\frac{BJ}{BA},\]从而
\[OH\cdot OG=r^2\cdot\frac{BJ}{BA},\]即为定值。
回到原题，椭圆是 `x^2/2+y^2=1`，`BJ/BA=1/3`，所以 `OH\cdot OG=2/3`，可知面积之积就是 `1/2`。 |
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