椭圆中三角形面积最值

Tesla35

(2008年安徽省预赛)设点$A(1,1),B,C$在椭圆$x^2+3y^2=4$上.当直线$BC$的方程为\blank 时,$\triangle ABC$的面积最大.

不要用仿射变换的知识

kuing

固定 `B`，则面积取最大时必有 `C` 处的切线平行于 `AB`，同理固定 `C` 时也一样，所以面积取最大值时必定是 `B`, `C` 处的切线分别平行于 `AC`, `AB`。

设 `B(x_1,y_1)`, `C(x_2,y_2)`，则两处的切线方程分别为 `x_1x+3y_1y=4`, `x_2x+3y_2y=4`，于是由平行得
\begin{align*}
3y_2(y_1-1)+x_2(x_1-1)&=0,\quad(1)\\
3y_1(y_2-1)+x_1(x_2-1)&=0,\quad(2)
\end{align*}相减得
\[3(y_1-y_2)+x_1-x_2=0,\quad(3)\]由 `B`, `C` 在椭圆上有 `x_1^2+3y_1^2=4`, `x_2^2+3y_2^2=4`，相减得
\[(x_1-x_2)(x_1+x_2)+3(y_1-y_2)(y_1+y_2)=0,\]故
\[x_1+x_2=y_1+y_2,\quad(4)\]由式 (3), (4) 得
\[x_2=\frac{3y_1-x_1}2,\,y_2=\frac{x_1+y_1}2,\]代回式 (1) 中，得
\[3(x_1+y_1)(y_1-1)+(3y_1-x_1)(x_1-1)=0,\]再与 `x_1^2+3y_1^2=4` 相减，可得
\[(x_1-1)(x_1-3y_1+2)=0,\]若 `x_1=1`，则 `y_1^2=1`，舍去 `1`，故 `B(1,-1)`，此时 `C(-2,0)`；
若 `x_1-3y_1+2=0`，代回去算出的是上述 `B`, `C` 互换。

综上，所求直线 `BC` 为 `x+3y+2=0`。

Tesla35

回复 2# kuing

goood
我还想能不能直角把面积算出来