椭圆与圆的题目

lemondian

问题：设椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的右焦点为$F(c,0)$,如果将圆$x^2+y^2=b^2$变为椭圆$\dfrac{x^2}{a_1^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(其中a_1<c)$,$M,N$是椭圆$C$上的两点，直线$MN$与椭圆$\dfrac{x^2}{a_1^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$相切,那么$M,N,F$三点共线与$|MN|$的长度有关系么？

kuing

只撸原题且只证必要性，用极坐标玩玩：

这里以右焦点为极点，那么椭圆方程为
\[\rho=\frac{ep}{1+e\cos\theta}=\frac{b^2}{a+c\cos\theta},\]当 `MN` 过 `F` 时，如上图，由与 `x^2+y^2=b^2` 相切得 `c\cos\theta=FQ=\sqrt{c^2-b^2}`，故
\[FM=\frac{b^2}{a+\sqrt{c^2-b^2}}=\frac{a-\sqrt{c^2-b^2}}2=\frac{a-FQ}2,\]而另一边 `FN` 就是分母的 + 变成 - 即
\[FN=\frac{b^2}{a-\sqrt{c^2-b^2}}=\frac{a+\sqrt{c^2-b^2}}2=\frac{a+FQ}2,\]所以 `MN=a`，顺便得出 `FM=QN`。

lemondian

回复 2# kuing
好方法！
反过来，当MN=a时，如何用极坐标法证明三点共线