过原点的两垂直的弦交椭圆于四点的四边形面积

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过椭圆\(\frac {x^2}4+\frac{y^2}9=1\)的中心作两条互相垂直的弦$AC$ 和$BD$，顺次连接\(A,B,C,D\)得一四边形，则该四边形的面积可能为（  B  ）

A. 10        B. 12        C. 14        D. 16

player1703

椭圆4个顶点四边形围成面积就是$12$这是选择题当然只能选B.
严格的解答过程:
把椭圆沿$x$轴拉伸$\frac{3}{2}$成圆(也就是投影到一个基线平行于$y$轴且与$xOy$平面夹角余弦$\cos \alpha = \frac{2}{3}$的平面上), 然后就转化为圆内接四边形面积投影后的两直线夹角(锐角)越大面积越大. 投影后两条直线的最大夹角是$90\du$当两条直线与$xy$轴重合, 最小夹角为当原来的直线为$y=\pm x$. 此时四个交点为$(\pm \frac{6}{\sqrt13},\pm \frac{6}{\sqrt13})$. 所以面积取值范围为$[\frac{144}{13},12]$.

kuing

不拉伸也简单。

熟知 `1/OA^2+1/OB^2=1/4+1/9`，显然 `OA`, `OB\in[2,3]`, `S=2OA\cdot OB`。

为方便码字令 `x=1/OA`, `y=1/OB`，即：`x`, `y\in[1/3,1/2]`, `x^2+y^2=1/4+1/9` 以及
\[\frac4S=2xy=x^2+y^2-(x-y)^2
\led
&\leqslant x^2+y^2=\frac14+\frac19=\frac{13}{36},\\
&\geqslant x^2+y^2-\left(\frac12-\frac13\right)^2=\frac14+\frac19-\frac1{36}=\frac13,
\endled\]所以
\[\frac{144}{13}\leqslant S\leqslant12,\]当 `x=y` 时左边取等，当 `\{x,y\}=\{1/3,1/2\}` 时右边取等。