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kuing
Posted 2022-3-11 22:19
稍一般地，那个圆也可以是椭圆，只要中心在原点，结果样同。
引理：设有心二次曲线 `\Gamma` 的对称轴为两坐标轴，且与直线 `A(x-x_0)+B(y-y_0)=0` 相切于 `(x_0,y_0)`，则 `\Gamma` 的方程是
\[A\frac{x^2}{x_0}+B\frac{y^2}{y_0}=Ax_0+By_0.\]
引理是很显然的，不写证明了。
回到原题：设 `M(x_1,y_1)`, `N(x_2,y_2)`，则直线 `MN` 可写成
\[(y_1-y_2)(x-x_1)-(x_1-x_2)(y-y_1)=0,\]
或
\[(y_1-y_2)(x-x_2)-(x_1-x_2)(y-y_2)=0,\]
根据引理，相切于 `M` 的那个椭圆方程为
\[(y_1-y_2)\frac{x^2}{x_1}-(x_1-x_2)\frac{y^2}{y_1}=(y_1-y_2)x_1-(x_1-x_2)y_1,\]
右边化简一下，就是
\[(y_1-y_2)\frac{x^2}{x_1}-(x_1-x_2)\frac{y^2}{y_1}=x_2y_1-x_1y_2,\]
同理，相切于 `N` 的那个椭圆方程为
\[(y_1-y_2)\frac{x^2}{x_2}-(x_1-x_2)\frac{y^2}{y_2}=x_2y_1-x_1y_2,\]
接下来求 `OP` 所在直线，它是两个椭圆的公共弦，将以上两个椭圆方程相减，得
\[(y_1-y_2)\left( \frac1{x_1}-\frac1{x_2} \right)x^2-(x_1-x_2)\left( \frac1{y_1}-\frac1{y_2} \right)y^2=0,\]
化简即
\[\frac{x^2}{x_1x_2}-\frac{y^2}{y_1y_2}=0,\]
由此得到 `OP` 的方程就是
\[y=\sqrt{\frac{y_1y_2}{x_1x_2}}\cdot x,\]
（于是得到副产品：`OP` 斜率为 `OM` 与 `ON` 斜率的等比中项）
将上式与直线 `MN` 联立，可解得交点 `K` 的横坐标为
\[x_K=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2-(x_1-x_2)\sqrt{\frac{y_1y_2}{x_1x_2}}},\]
那么，当 `MK=NK` 时，有 `x_1+x_2=2x_K`，代入上式化简，可得
\[y_1+y_2=(x_1+x_2)\sqrt{\frac{y_1y_2}{x_1x_2}},\]
平方化简可得
\[(x_1y_1-x_2y_2)(x_2y_1-x_1y_2)=0,\]
显然第二个括号不为零，所以 `x_1y_1=x_2y_2`，这就说明 `M`, `N` 两点在同一条反比例函数上！
熟知任一直线若与双曲线及其渐近线交于四点则这四点是对称的，因此 `ME=NF`，所以 `K` 也是 `EF` 的中点。 |
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