导数，恒成立

guanmo1

函数 $f(x)=x^2-a \ln x+\ln a$，当 $x \geq 1$ 时，$f(x) \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

kuing

必要条件 f(1)>=1 知 a>=1。
当 1<=a<=2 时，求导 f'(x)=2x-a/x 当 x>=1 时显然非负，即 f 在 [1,+oo) 递增，符合；
当 a>2 时，f(x) 在 `x=\sqrt{a/2}` 最小，因此需要 `f(\sqrt{a/2})\geqslant1`，即
\[\frac a2-\frac a2\ln\frac a2+\ln a\geqslant1,\]
如果 a 很大左边肯定会负，所以上式不会恒成立，必须把方程解出来，但是这超越方程，能解？
令 a=2b 上式化简为
\[(b-1)(1-\ln b)+\ln 2\geqslant 0,\]
还是没什么法子啊……

扔掉吧…………

guanmo1

kuing 发表于 2022-8-28 14:34
必要条件 f(1)>=1 知 a>=1。
当 1

确实解半天解不出来，但是可能是模拟卷上的题啊。不知道咋回事。

isee

guanmo 发表于 2022-8-29 09:58
确实解半天解不出来，但是可能是模拟卷上的题啊。不知道咋回事。

知道出处，哪就翻下参考答案，顺便也让我们看看~~~~~~~~~~~~~再不就是事实上 a 已经给我 定了一个大范围

guanmo1

不知道出处哦