圆内接梯形的面积

力工

点$P$在单位圆$O$内，$OP=\frac{1}{2}$,圆$O$的内接梯形$ABCD$的对角线交于点$P$,求梯形$ABCD$的面积的最大值.

hbghlyj

设$O(0,0)$, $P(0,\frac12)$, $A(\texttt{x1},\texttt{y1})$, $C(\texttt{x2},\texttt{y2})$, 直线$AC:y=kx+\frac12$
因为圆内接梯形一定是等腰，$A$与$B$、$C$与$D$关于$OP$对称。
梯形面积\[A(k)=(\texttt{x1} - \texttt{x2}) (\texttt{y1} - \texttt{y2})\]

1. {{x1, y1}, {x2, y2}} = {x, y} /. Solve[{y == k x + 1/2, x^2 + y^2 == 1}, {x, y}];
2. FullSimplify[(x1 - x2) (y1 - y2)]

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\[A(k)=\frac{k \left(4 k^2+3\right)}{\left(k^2+1\right)^2}\]
当$k=\frac{1}{2} \sqrt{3+\sqrt{57}\over2}$取最大值$\sqrt{\frac{399 \sqrt{57}-1413}{512}}$

力工

hbghlyj 发表于 2023-8-7 21:56
设$O(0,0)$, $P(0,\frac12)$, $A(\texttt{x1},\texttt{y1})$, $C(\texttt{x2},\texttt{y2})$, 直线$AC:y=kx ...

强啊，机算了。基本都是解析法，不知有其它法没有。

kuing

hbghlyj 发表于 2023-8-8 21:28
一般情况还没有解决上面假设了关于OP对称

？圆内接梯形难道不是一定是等腰吗？还有不对称的吗？

hbghlyj

kuing 发表于 2023-8-8 21:40
？圆内接梯形难道不是一定是等腰吗？还有不对称的吗？

突然想到，若“圆内接梯形”改成“圆内接四边形”，还能求面积最大值吗

kuing

hbghlyj 发表于 2023-8-8 22:33
突然想到，若“圆内接梯形”改成“圆内接四边形”，还能求面积最大值吗 ...

让我想起了这帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=5771 只不过那点在外面

力工

追加一个问题，求此圆对角线交于点$P$时的内接四边形的的最大面积

isee

力工 发表于 2023-8-18 21:09
追加一个问题，求圆接接四边形的的最大面积

这就太平凡了，主楼图\[S=\frac 12 AC\cdot BD \sin APB\leqslant \frac 12\cdot 2r\cdot 2r \sin\frac\pi2,\;\cdots\]


哦，没认真看主楼中的 OP 是定长，请无视上面

力工

需要引入多个量表示长度？

kuing

hbghlyj 发表于 2023-8-8 22:33
突然想到，若“圆内接梯形”改成“圆内接四边形”，还能求面积最大值吗 ...

今天我在 zhihu.com/question/642966529/answer/3389198481 证明了取最大值时一定是梯形并算出了一般表达式😉