MMC(A)作弊之比较大小

kuing

例1：比较 `\log_34` 与 `\log_46` 的大小。

目标是找一个分数介于两者之间，且分母要最小。方法以前何版主也介绍过了，就是用连分数，但对数的连分数展开我不懂，所以开挂作弊：

1. ContinuedFraction[Log[3, 4], 10]
2. ContinuedFraction[Log[4, 6], 10]

复制代码

输出：
{1, 3, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 46, 1}
{1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2}
也就是
\begin{align*}
\log_34&=1+\frac1{3+\frac1{1+\frac1{4+\cdots}}},\\
\log_46&=1+\frac1{3+\frac1{2+\frac1{2+\cdots}}},
\end{align*}可见后者大，而在 `\left( 1+\frac1{4+\cdots},2+\frac1{2+\cdots} \right)` 内的最小整数是 `2`，所以要找的分数就是：

1. FromContinuedFraction[{1, 3, 2}]

复制代码

输出：9/7。

于是，写过程时就可以这样：
解：做乘法计算知 `4^7<3^9` 且 `4^9<6^7`，所以 `\log_34<9/7<\log_46`。
（实际根本没去做乘法计算，都已经明知成立了还算个啥）

步骤总结：
一、用 ContinuedFraction 将两数展开为连分数；
二、将第一个不同的数用较小者 +1 代之，后面扔掉，再用 FromContinuedFraction 变回回去；
三、写“乘法计算过程”忽悠人。

没有 MMC(A)？没关系，还有的线的 wolframalpha 嘛（论坛首页友情链接有），并且语法可以很随意：
https://www.wolframalpha.com/input/?i=continuedfraction(log(3,4),10)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=continuedfraction(log(4,6),10)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=fromcontinuedfraction((1,3,2))

例2：证明 `\sqrt7^{\sqrt8}>\sqrt8^{\sqrt7}`。

注意这个需要先做一些变形，否则就算直接找到一个分数在两数之间，也无法写成“乘法计算过程”。

取对数后，易知其等价于
\[\log_27>\frac32\sqrt{\frac72},\]于是：

1. ContinuedFraction[Log[2, 7], 10]
2. ContinuedFraction[3/2*Sqrt[7/2], 10]

复制代码

输出：
{2, 1, 4, 5, 4, 5, 4, 1, 29, 1}
{2, 1, 4, 6, 4, 1, 4, 1, 4, 6}
然后

1. FromContinuedFraction[{2, 1, 4, 6}]

复制代码

输出：87/31。

这回如果直接写“乘法计算过程”的话，恐怕忽悠不了人了：
做乘法计算知 `7^{31}>2^{87}` 且 `87^2\times8>31^2\times63`，所以
\[\log_27>\frac{87}{31}>\frac32\sqrt{\frac72}.\]
尼玛 `7^{31}>2^{87}`？！？！？！你算给我看看？！？！？！
所以这时还需要玩点技巧，取连分数的前三项 `2+\frac1{1+\frac14}=\frac{14}5`，也就是说 `7^5` 和 `2^{14}` 也挺接近，于是将 `7^{31}>2^{87}` 写成 `7^{5\times6+1}>2^{14\times6+3}`，即
\[\left( \frac{7^5}{2^{14}} \right)^6>\frac{2^3}7,\]做乘法计算变成
\[\left( 1+\frac{423}{16384} \right)^6>1+\frac17,\]由二项式定理或勃撸力可知只需证
\[6\cdot\frac{423}{16384}>\frac17,\]再次做乘法计算知成立，即得证。

isee

回复 1# kuing


大得也是不容易

山川浮云

没有好家具，作弊不容易

hbghlyj

kuing 发表于 2019-8-10 08:54
就是用连分数，但对数的连分数展开

hbghlyj

Connection with continued fractions

hbghlyj 发表于 2024-3-27 23:04
$\text { 15. Lambert, 1770; Lagrange, } 1776 .$
$$\log{(1+x)}=\cfrac x{1+\cfrac{1^2x}{2+\cfrac{1^2x}{3+\cfrac{2^2x}{4+\cfrac{2^2x}{5+\cfrac{3^2x}{6+\cfrac{3^2x}{7+\vphantom{\cfrac{1^2}{3}}\lower1em\ddots}}}}}}},\quad|x|<1.$$

适当的阶的PadeApproximant和上面的连分式的渐近分数相等：
PadeApproximant[Log[1+z], {z, 0, {1,1}}] − 1阶渐近分数$=0$

PadeApproximant[Log[1+z], {z, 0, {2,1}}] − 2阶渐近分数$=0$

PadeApproximant[Log[1+z], {z, 0, {2,2}}] − 3阶渐近分数$=0$

PadeApproximant[Log[1+z], {z, 0, {3,2}}] − 4阶渐近分数$=0$

对于一般的$n=1,2,3,\dots$
\[\textsf{PadeApproximant}[\log(1+z),\bigl\{z, 0,\{\left\lceil\tfrac{n+1}{2}\right\rceil,\left\lfloor\tfrac{n+1}{2}\right\rfloor\}\bigr\}]-\frac{z}{1+\mathop{\Large\textsf{K}}\limits^n_{k=1} \dfrac{\left\lfloor\frac{k+1}{2}\right\rfloor^2 z}{k+1}}=0\]
成立吗？