一道向量最值背后的三角函数根式最值

郝酒

学生问了道题：“$\vec{m},\vec{n}$是两两垂直的单位向量，$|\vec{p}|=\frac{1}{2}$，求$|\vec{m}+2\vec{n}|+|\vec{m}+4\vec{p}|+2\lvert3\vec{m}+2\vec{n}-\vec{p}\rvert$的最小值.”
可以转化为函数$f(\theta)=\sqrt{5+\cos\theta}+\sqrt{53-12\cos\theta-8\sin\theta}$的最小值.
正说用手算不下去，不是道好题时，拿电脑算了下，$\sin\theta=\frac{3}{5},\cos\theta=-\frac{4}{5}$时，取得最小值。
但是又容易看到$\theta=\frac{\pi}{2}$也可以取得最小值.
不由得想这题是不是有什么深意，特来问一下大家.

kuing

没细想，会不会是阿氏圆，你考虑过没？

郝酒

kuing 发表于 2022-12-6 22:20
没细想，会不会是阿氏圆，你考虑过没？

没太想明白阿氏圆，画了下图，发现两个最值在一条直线上。

色k

真的是很平常的阿氏圆题型而已啊。

设 `\bm m=(1,0)`, `\bm n=(0,1)`，后两项变成 `2\abs{(-1/2,0)-2\bm p}+\abs{(6,4)-2\bm p}`，于是设点 `B(-1/2,0)`, `C(6,4)` 以及 `\vv{OA}=2\bm p`，那么 `A` 在单位圆上，上式就是 `2AB+AC`，然后再取点 `D(-1,0)` 则 `2AB=AD`（阿氏圆性质），就得 `2AB+AC=AD+AC\geqslant CD`，取等就是线段 `CD` 与单位圆的两个交点。

郝酒

色k 发表于 2022-12-8 01:04
真的是很平常的阿氏圆题型而已啊。

设 `\bm m=(1,0)`, `\bm n=(0,1)`，后两项变成 `2\abs{(-1/2,0)-2\bm p ...

嗯嗯，谢谢ku版。
好像有一个笔误：$D$点坐标应为$(-2,0)$吧

色k

郝酒 发表于 2022-12-8 07:47
嗯嗯，谢谢ku版。
好像有一个笔误：$D$点坐标应为$(-2,0)$吧

对

kuing

写回向量形式的话，就是：
由 `\abs{\bm m}=\abs{2\bm p}` 可得 `(\bm m+4\bm p)^2=(2\bm m+2\bm p)^2`，所以
\begin{align*}
\abs{\bm m+4\bm p}+2\abs{3\bm m+2\bm n-\bm p}&=\abs{2\bm m+2\bm p}+\abs{6\bm m+4\bm n-2\bm p}\\
&\geqslant\abs{2\bm m+6\bm m+4\bm n}\\
&=\cdots
\end{align*}

郝酒

kuing 发表于 2022-12-8 13:52
写回向量形式的话，就是：
由 `\abs{\bm m}=\abs{2\bm p}` 可得 `(\bm m+4\bm p)^2=(2\bm m+2\bm p)^2`，所 ...

谢谢ku版，`(\bm m+4\bm p)^2=(2\bm m+2\bm p)^2`精彩

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咦？为什么` `不能被MathJax解析？
===
原来可以，是我着急了：）

isee

kuing 发表于 2022-12-8 13:52
写回向量形式的话，就是：
由 `\abs{\bm m}=\abs{2\bm p}` 可得 `(\bm m+4\bm p)^2=(2\bm m+2\bm p)^2`，所 ...

我还在想怎么消掉p，原来这样子，把积的系数两边分，哇哈哈哈