2个向量小题

facebooker

(1)已知平面向量$\bm e_1,\bm e_2, \bm e_3,|\bm e_1|=|\bm e_2|=|\bm e_3|=1,<\bm e_1,\bm e_2>=60\du $, 若对区间$[\frac{1}{2},1]$内的三个任意实数$\lambda_1, \lambda _2,\lambda _3,$都有$|\lambda _1\bm e_1+\lambda _2\bm e_2+\lambda _3\bm e_3|\geqslant \dfrac{1}{2}|\bm e_1+\bm e_2+\bm e_3|$,则向量$\bm e_1$与$\bm e_3$夹角最大值的余弦值为： A. $-\dfrac{3+\sqrt{6}}{6}$

(2)已知平面上三个单位向量$\bm a,\bm b,\bm c,$满足$\bm a+\bm b+\bm c=0, \bm e$是该平面上任意单位向量，求$2|\bm e\cdot\bm a|+3|\bm e\cdot\bm b|+4|\bm e\cdot\bm c|$的最大值___

kuing

第二题和 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4943 差不多

facebooker

回复 2# kuing

非常感谢 几乎一样的思路。

kuing

第一题，如下图，线太多，懒得一一交待，反正都是平行四边形啊中点啊什么的。

由于三个 `\lambda` 在 `[1/2,1]` 内，故：
黄色的是 `\lambda_1e_1+\lambda_2e_2` 的终点所在区域；
绿色的是 `\lambda_1e_1+\lambda_2e_2+\lambda_3e_3` 的终点所在区域；

因此不等式左边表示 `O` 到绿色区域内的点的距离，而右边则是 `OM`，所以不等式恒成立就是要确保 `O` 到绿色区域的最短距离为 `OM`。

因此需要 `\angle OMF` 和 `\angle OMH` 都 `\geqslant90\du`。

易知后者恒为钝角，对于前者，临界点就是 `OC\perp OE` 时，如下图。

此时
\[\cos C=\frac1{\sqrt3}
\riff\cos\langle\bm e_1,\bm e_3\rangle=-\cos(C-30\du)=-\frac12-\frac1{\sqrt6}.\]