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源自知乎提问
题：已知 $a>0,\,b>0$，求 $\dfrac{(a^2+2)(b^2+4)}{a+b}$ 的最小值.
PS：此题的数据甚好，逐步调整法后可以利用均值不等式.
含参柯西不等式，取正实数 0<m<2，0<n<4 使得 \begin{align*}
&\quad\,\,\frac{\sqrt{(a^2+2)(b^2+4)}}{\sqrt{a+b}}\\[1em]
&=\frac{\sqrt{\big(a^2+m+(2-m)\big)\big(n+b^2+(4-n)\big)}}{\sqrt{a+b}}\\[1em]
&\geqslant \frac{\sqrt n a+ \sqrt m b+\sqrt{2-m}\sqrt{4-n}}{\sqrt{a+b}}
\end{align*} 观察到分母 $a,\,b$ 的系数相等，于是令分子中 $a,\,b$ 系数相同$\sqrt n=\sqrt m$ ，即 $m=n\in(0,2)$ ，则可进一步 \begin{align*}
\cdots &\geqslant \frac{\sqrt m (a+b)+\sqrt{2-m}\sqrt{4-m}}{\sqrt{a+b}}\\[1em]
&=\sqrt{m}\sqrt{a+b}+\frac{\sqrt{(2-m)(4-m)}}{\sqrt{a+b}}\qquad{\color{blue}{(\rm{AM-GM})}}\\[1em]
&\geqslant 2\sqrt{\sqrt{m(2-m)(4-m)}}\\[1em]
\Rightarrow \frac{(a^2+2)(b^2+4)}{a+b}&\geqslant 4\sqrt{m(2-m)(4-m)}\tag{01}
\end{align*} Cauchy 不等式成立条件为 \[\frac{a}{\sqrt m}=\frac{\sqrt m}b=\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{4-m}},\] AM-GM 不等式成立的条件为 \[\sqrt{m}(a+b)=\sqrt{(2-m)(4-m)},\] 联立这两式消 a，b 有 \[m\left(\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{4-m}}+\frac{\sqrt{4-m}}{\sqrt{2-m}}\right)=\sqrt{(2-m)(4-m)},\] 解得 $m=2-\frac{2}{\sqrt 3}\in(0,2)$ ，代回 $(01)$ 式就是要求的最小值. |
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kuing
posted 2025-8-2 16:26
