来自人教群的与双曲线没半毛钱关系的双曲线题

kuing

渝F教师冰糖(3130*****)  17:22:11
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点和右焦点分别为 $A(a, 0), ~ F(c, 0)$，若在直线 $x=-\frac{a^2}{c}$ 上存在点 $P$ 使得 $\angle A P F=30^{\circ}$，则该双曲线的离心率的取值范围是
老师们帮忙看看，这个有什么好方法没？
粤A爱好者kuing(249533164)  17:24:03
切割线定理
渝F教师冰糖(3130*****)  17:24:43
我用的两条直线的斜率公式得到的只能选b
渝F教师冰糖(3130*****)  17:26:09
切割线定理？
川A教师胖嘟嘟(5766*****)  17:28:05
A
浙C教师木目(5228***)  17:28:11
kk讲得太笼统了，具体点
浙C教师木目(5228***)  17:29:59
直线与圆相交或相切，切割线定理

粤A爱好者kuing(249533164)  17:47:30



渝F教师冰糖(3130*****)  17:52:22


粤A爱好者战巡(3705*****)  17:55:47

sin∠APF=AF/d=(c-a)/(a+c+2a^2/c)>=1/2

粤A爱好者kuing(249533164)  17:59:42
d是直径？
粤A爱好者战巡(3705*****)  17:59:48
嗯
粤A爱好者kuing(249533164)  18:00:29
嗯，原来是这样算直径，不错
发论坛记录一下先

goft

这个标题取得好，出题人看到，

kuing

还是补充一下细节写个完整的过程吧，顺便优化一下图形，换个字母。

由于双曲线是多余的，这里就不画双曲线了，如图，过点 $A$, $F$ 作与直线 $x=-a^2/c$ 相切的圆，设切点为 $Q$，直线 $AF$ 与直线 $x=-a^2/c$ 交于 $D$。

易见存在满足题意的 $P$ 当且仅当 $\angle AQF\geqslant 30\du$，设 $\angle QFD=\angle AQD=x$，则 $2x+\angle AQF=90\du$，故 $x\leqslant 30\du$，所以 $DF\geqslant \sqrt3DQ=\sqrt3\sqrt{DA\cdot DF}$，即 $DF\geqslant 3DA$，所以
\[\frac{a^2}c+c\geqslant 3\left( \frac{a^2}c+a \right),\]
下略。

kuing

回复 2# goft

没半毛钱关系也不是第一回啦，上次 forum.php?mod=viewthread&tid=924 也是

其妙

回复 4# kuing
居然那里有我的发言呀？我现在都看不懂我的发言了！