一个比较大小的题

转化与化归

证明：$\sqrt{7}^{\sqrt{8}}>\sqrt{8}^{\sqrt{7}}$

kuing

artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=3115907#p3115907 这也算证明

isee

第一感，作商不行吗？

isee

回复 2# kuing

看了这个链接，我感觉是从那个3楼，这样的导数题变出来的。

另外，看来作商比较麻烦

---

算一下看看：


\begin{align*}
\sqrt7 ^{\sqrt 8}&>\sqrt8 ^{\sqrt 7}\\
\iff  7 ^{\sqrt 8}&>8 ^{\sqrt 7}
\end{align*}

令$\sqrt 7 = x$，有

\begin{align*}
(x^2)^{\sqrt{x^2+1}} &> (x^2+1)^x\\
\end{align*}

换元后，便是导数问题了，但根号没完全脱掉，还是麻烦。

直接取对数呢？

\begin{align*}
\sqrt7 ^{\sqrt 8}&>\sqrt8 ^{\sqrt 7}\\
\iff  7 ^{\sqrt 8}&>8 ^{\sqrt 7}\\
\iff  \sqrt 8 \ln 7&>\sqrt 7 \ln 8\\
\iff   \dfrac {\ln 7}{\ln 8}&>\dfrac {\sqrt 7}{\sqrt8}
\end{align*}


最直接的是考虑 $y=\ln x,y=\sqrt x $，不乐观。

横向看，\begin{align*}
\sqrt7 ^{\sqrt 8}&>\sqrt8 ^{\sqrt 7}\\
\iff   \dfrac {\ln 7}{\sqrt 7}&>\dfrac {\ln 8}{\sqrt8}
\end{align*}
回到链接的3楼，晕。

考察函数，证7附近，减即可。





不管了，直接计器，看看结果是  $7 ^{\sqrt 8}=245.63950,8 ^{\sqrt 7}=245.10463$

变态，原两数在实际应用中，直接认为相等得了，如用TikZ画图，哪怕线再细，肉眼无法识别出不同

isee

最后，有以上分析后，直接

\begin{align*}
\sqrt7 ^{\sqrt 8}&>\sqrt8 ^{\sqrt 7}\\
\iff   \sqrt 8 \ln \sqrt 7&> \sqrt 7  \ln \sqrt 8\\
\iff   \dfrac {\ln \sqrt 7}{\sqrt 7}&>\dfrac {\ln \sqrt8}{\sqrt8}
\end{align*}

新瓶旧酒，$y=\dfrac {\ln x} x$

……

kuing

回复 5# isee

没分别

isee

逃不出$\sqrt7<e<\sqrt 8$的大小的关系……这个五指山

分居最高点两则，对称轴的增强感觉，又来了




看斜率，也基本一条线

kuing

7^31 > 8^29
不知能不能证出它

isee

回复  isee

没分别
kuing 发表于 2013-6-29 16:20

   

    完全同意

    多写点，看着有型，嘿嘿

其妙

完全同意

    多写点，看着有型，嘿嘿
isee 发表于 2013-6-29 16:24

不错的资料，为了后来者少走弯路。
本题3楼的解决思想就是：
“非常小的差别，只有用放大镜才能分辨；如果还不能，那么用显微镜；还不行就用射电望远镜！”

转化与化归

回复 2# kuing
这个证明有点。。。。

007

回复 11# 转化与化归


  和我想的有点类似哦

等价于证明：$\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7} > \dfrac{\ln \sqrt 8}{\sqrt 8} $,即只需要考虑$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$的单调性即可。
以下分析略，直接过程：
$\dfrac{\ln \sqrt 8}{\sqrt 8}=\dfrac{1.5}{2^{1.5}}\ln 2<\dfrac{1.4}{2^{1.4}}\ln 2=\dfrac{\ln {2^{1.4}}}{2^{1.4}}<\dfrac{\ln \sqrt 7}{\sqrt 7} $

007

回复 12# 007


    $\dfrac{1.5}{2^{1.5}}<\dfrac{1.4}{2^{1.4}}\Leftrightarrow \dfrac12<\left(\dfrac{14}{15}\right)^{10}\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt2}{2}<\left(\dfrac{14}{15}\right)^{5}=\left(1-\dfrac{1}{15}\right)^5$
$\left(1-\dfrac{1}{15}\right)^5>1-5\times \dfrac{1}{15}+10\times \dfrac{1}{15^2}-10\times \dfrac{1}{15^3}=\dfrac{478}{675}>0.708>\dfrac{\sqrt2}{2}$
$2^{1.4}<\sqrt7\Leftrightarrow2^{14}<7^5\Leftrightarrow16384<16807$

kuing

回复 13# 007

如果没计算错的话，比2#链接里的要好，虽然也需要一点计算量。

isee

这谁想出来的这两个数

其妙

放大的数学，