不用计算器，如何比较大小

力工

如果你坐在考场，不能 用计算器，如何比较？
试比较$3^{361}\times 10^{-80}-10^{73}$与$10^{93}-3^{361}\times 10^{-80}$的大小.

色k

你是撸这道题是吧？



看来这题很热啊？连我的H群里都有人讨论

不过确实，这题值得一吹，因为虽然实际值 $M/N=10^{92.24077\cdots}$，但它却更接近 C ，这多违反直觉，故此，命题人的想当然也不足为奇。

对于 $\{a,b,c\}$ 和 $\{\lg a,\lg b,\lg c\}$，若 $\lg b$ 更接近 $\lg c$，则 $b$ 就一定更接近 $c$ 吗？

非也，不妨取 $\{a,b,c\}=\{10,1000,10000\}$。

力工

回复 2# 色k

我没能进U的A微H群，贴出来看看。

isee

你是撸这道题是吧？



看来这题很热啊？连我的H群里都有人讨论

不过确实，这题值得一吹，因为虽然 ...
色k 发表于 2017-6-12 01:18

这个一眼看过去就是估算，最常见的指对运算，难道不是D？

isee

如果不是，要太超出我对对数估值的相像了。

isee

如果你坐在考场，不能 用计算器，如何比较？
试比较$3^{361}\times 10^{-80}-10^{73}$与$10^{93}-3^{361}\t ...
力工 发表于 2017-6-11 22:20

    用软件跑哪个更小？是后面的吧。

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还好还好——GGB跑了下，实际是前面的更小些，哈哈北京卷第8题 那个“更接近” ——嘿嘿——好在平时对数估计时，只说此数后面约有多少位，而没说更谁更近！！

isee

先回到主楼，主楼的比较大小是个难题，手算的话，怕还是要回到对数上。

取$\log3=0.4771$，这样$M/N=10^{92.2331}$就与真实值相差不大了(误差可以算，理论上，不过，我好像不会）。

将这个似乎值（实际上个人，会选用$10^{92}$）代回：
第一个结果约为$a=10^{92.2331}-10^{73}$,
第二个结果约为$b=10^{93}-10^{92.2331}$,
于是$$a-b=2\times 10^{92.2331}-10^{93}-10^{73}=(2\times 10^{0.2331}-10)\times 10^{92}-10^{73}.$$

$2\times 10^{0.2331}-10<2\times 10^{0.5}-10<0$,即 a<b,亦$$3^{361}\times 10^{-80}-10^{73}<10^{93}-3^{361}\times 10^{-80}.$$

isee

再回到北京卷的第8题，
取$$\log3=0.4771$=0.48$算出来的$M/N=10^{93.28}$，坏了，这个结果比真实值大，且太多！
某种意义上说，精度不够，如果就认为$M/N=10^{93.28}$就是真实结果，
那么$10^{73},10^{93}$ 均比$M/N=10^{93.28}$小，那自然是$10^{93}$更接近了。


于是就有网上的选项D。（真实情况是C).


这样一来心里就踏实多了——对数估值——在我以中的地位不变。

这个$\log3=0.48$实在是太粗了。

kuing

回复 8# isee

之所以给那么粗，自然是因为命题者本来就是认为选D。

isee

  

我终于明白了，此题根本不是对数估值！

而是问$$10^{73},10^{93}$$

这两数与$$10^{92.240773}$$
哪个更接近？

这可能是出题人的意图，因为出题人不可能不知道M/N的真实结果。。。。。。。

kuing

其实，即使是 $0$ 和 $10^{93}$，还是 $0$ 与 $M/N$ 更接近。

要证明这点，即证 $M/N<5\times10^{92}$，即 $3^{361}<5\times10^{172}$，只需证 $3^{360}<10^{172}$，即 $3^{90}<10^{43}$，即 $\lg3<43/90=0.4777\cdots$。

isee

回复 11# kuing


   

kuing

刚才减压群的群聊记录估计也是和这题有关，故记录于此

生如夏花(2365*****) 9:21:13
在3的1至90次方幂中，与10的n次方比值最接近1的是哪个？，(n表示每个数的位数减去1)
大色k(249533164) 10:50:13
@生如夏花 44次
生如夏花(2365*****) 11:07:44
@大色k 3^44？
约等于10^21，@大色k 怎么找到的？
大色k(249533164) 11:20:16
连分数
下一个更接近的是109次
大色k(249533164) 12:26:53
其实俺也不太懂，也不知道展开的操作，只是知道这样能行
生如夏花(2365*****) 12:27:42
@大色k 麻烦写下，看看

利用 Mathematica 将 $\lg3$ 展开成连分数，保留7位：

1. In[1]:= ContinuedFraction[Log10[3], 7]
2. Out[1]= {0, 2, 10, 2, 2, 1, 13}

Copy the Code

也就是说 $\lg3=1/(2 + 1/(10 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(1 + 1/(13+1/\cdots))))))$
而 $1/(2 + 1/(10 + 1/2))=21/44$,
$1/(2 + 1/(10 + 1/(2 + 1/2)))=52/109$，
所以不超90次的话44次就是最佳了，下一个就是109次。

kuing

完全用软件列出来的话：

1. Table[FromContinuedFraction[ContinuedFraction[Log10[3], k]], {k, 1, 10}]

Copy the Code

得到 {0, 1/2, 10/21, 21/44, 52/109, 73/153, 1001/2098, 1074/2251, 8519/17855, 154416/323641}