$abc=1$

v6mm131

题1：已知$a,b,c>0,abc=1$证明：\[a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ac}{c^{2}+a^{2}}\geq \frac{9}{5}(a^2+b^2+c^2-\frac{1}{2})\]

v6mm131

题2：已知$a,b,c>0,abc=1$证明:\[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} +3 \geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\]

v6mm131

题3：已知$a,b,c>0,abc=1$证明:\[a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a +15 \geq 6(a+b+c)\]

Aluminiumor

v6mm131 发表于 2017-8-29 07:20
题2：已知$a,b,c>0,abc=1$证明:\[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} +3 \geq 2(\frac{a}{b}+\frac ...

作代换 $a\rightarrow\dfrac ab,b\rightarrow\dfrac bc,c\rightarrow\dfrac ca$
只需证
$$\sum\left(a^4b^5-2a^4b^4c+a^3b^3c^3\right)\geq0$$
然而九次想配成 SOS 是困难的，配方器只能给出丑陋的结果

kuing

Aluminiumor 发表于 2025-4-29 23:05
作代换 $a\rightarrow\dfrac ab,b\rightarrow\dfrac bc,c\rightarrow\dfrac ca$
只需证
$$\sum\left(a^4b^ ...

你作代换 `a=y/x`, `b=z/y`, `c=x/z` 试试

Aluminiumor

kuing 发表于 2025-4-29 23:58
你作代换 `a=y/x`, `b=z/y`, `c=x/z` 试试

是变成6次了，然而没能证出来
你有空写下呗

Aluminiumor

kuing 点评
接下来我也不会😥我只是说这样次数低点，机器给出的估计就没那么丑了吧

这个6次的式子能手工配成 SOS 形式，但经尝试没法用判定定理证明非负。而配方器也配不出来非负的形式（通常这种情况下要手工升次，那又变成9次了）

Aluminiumor

好吧，升成7次可以配出来，但也奇丑无比：
$$\begin{aligned} &\quad(a+b+c)\sum\left(a^5b+a^2b^2c^2-2a^4bc\right)  \\& = \frac{1}{49938648526620}\sum a b c \left(- 5659590 a^{2} + 7738421 a b + 3880785 a c - 12457598 b c + 6497982 c^{2}\right)^{2} \\  & + \frac{1}{21684825374480905140}\sum a b c \left(184413670 a^{2} + 235855791 a b + 500730926 b^{2} - 921000387 b c\right)^{2} \\  & + \frac{1}{4008690}\sum a b c \left(- 2121 a^{2} + 673 a b + 2819 a c + 771 b^{2} - 2913 b c + 771 c^{2}\right)^{2} \\  & + \frac{1}{1640520}\sum a \left(- 1000 a^{2} b + 1335 a b c + 1302 b^{2} c - 2701 b c^{2} + 1064 c^{3}\right)^{2} \\  & + \frac{1}{2188872012600}\sum a \left(449840 a^{2} b - 1076157 a b c + 1334255 b c^{2} - 707938 c^{3}\right)^{2} \\  & + \frac{1}{443296772781530850}\sum a \left(354904120 a^{2} b - 527369709 a b c + 172465589 c^{3}\right)^{2} \\  & + \frac{4856}{100959938087887755}\sum a b c \left(a - b\right)^{2} \left(1623998 a - 2252407 b\right)^{2} \\  & + \frac{460247227}{33224291667}\sum a \left(a^{2} b - c^{3}\right)^{2} + \frac{937208}{12179985}\sum a b c^{3} \left(b - c\right)^{2} \end{aligned}$$

kuing

Aluminiumor 发表于 2025-4-30 02:01
好吧，升成7次可以配出来，但也奇丑无比：
$$\begin{aligned} &\quad(a+b+c)\sum\left(a^5b+a^2b^2c^2-2a^4 ...

我有一点点好奇，配方器的原理是啥啥呀

kuing

Aluminiumor 发表于 2025-4-30 01:02
是变成6次了，然而没能证出来
你有空写下呗

我只会笨方法暴力增量代换……

令 `a=y/x`, `b=z/y`, `c=x/z`, `x`, `y`, `z>0` 后变成
\[\frac{a^2}b+\frac{b^2}c+\frac{c^2}a+3\geqslant2\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca\right)\iff\sum x^5y+3x^2y^2z^2\geqslant2xyz\sum x^3,\]
不妨设 `x=\min\{x,y,z\}`，则令 `y=x+t`, `z=x+u`, `t`, `u\geqslant0`，代入展开整理为
\begin{align*}
&(t^2-tu+u^2)x^4+(3t^4+2t^3u+3t^2u^2-8tu^3+3u^4)x^2\\
&+(t^2+tu+u^2+2x^2)(t^3+2t^2u-3tu^2+u^3)x+t^5u\geqslant0,
\end{align*}
再令 `t=vu`, `v>0`，则只需证 `3v^4+2v^3+3v^2-8v+3\geqslant0` 且 `v^3+2v^2-3v+1\geqslant0`，不难证明都是成立的，即得证。

Aluminiumor

kuing 发表于 2025-4-30 14:38
我有一点点好奇，配方器的原理是啥啥呀

我所了解的方法是“系数阵”，Overleaf 链接
在“说明”的最后有给出 Forever 豪 3 开发的三元配方器，楼上的配方就是用这个搞的。

kuing

Aluminiumor 发表于 2025-4-30 16:10
我所了解的方法是“系数阵”，Overleaf 链接
在“说明”的最后有给出 Forever 豪 3 开发的三元配方器，楼 ...

以前也有人向我提过“系数阵”，forum.php?mod=viewthread&tid=4729，我当年没在意，看来还是得抽空学习一下😋