关于e与根号3的大小估计

aishuxue

求证： $\mathrm{e}^{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}>\sqrt{3}+2$

kuing

暴力解决呗，利用 e^x>1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24

isee

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这真的是原题？

游客

原题可能提供了参考数据。

战巡

回复 1# aishuxue


在别的地方展开也行
$\frac{\sqrt{3}+1}{2}\approx\frac{1.732+1}{2}=1.366$，为了计算上的方便，可以取一个靠近的值，比如$\ln(3)\approx 1.099$

于是有
\[e^x=e^{\ln(3)}+e^{\ln(3)}(x-\ln(3))+...\]
\[e^x>3+3(x-\ln(3))\]
\[e^{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}>3+3(\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\ln(3))\]
\[\approx 3+3(1.366-1.099)=3.801>3.732\approx\sqrt{3}+2\]