两道全国卷解几题

lemondian

设抛物线C：$y^2=2x$，点A（2，0），B（-2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．

• 当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
• 证明：$\angle ABM=\angle ABN$．

设椭圆 $C: \frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ ．
（1）当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；
（2）设 $O$ 为坐标原点，证明：$\angle O M A=\angle O M B$ ．
似有相似之处

isee

回复 1# lemondian

这真是全国卷? 刚在楼下扯极点极线。
结果，右焦点F在点M的极线上，于是就没有于是了。

lemondian

回复 2# isee


    来个详细点的极线写法吧，学习一下，刚刚的高考题

isee

回复 3# lemondian


不写（不是不写，2楼已经写完了）。

具体来说一是我写不通俗（自己学得并不深），二是自己随便一学就会了，（然后你也不会写的，去学了，你就明白我意思了）。


抛物线一样。

kuing

回复 2# isee

这哪需要扯到极点极线啊，点在准线上，向准线作垂线，然后就有相似三角形，不就完了？超简单啊，送分题啊

isee

回复 5# kuing

这样一说，好像你证过，在论坛。按这个方向，抛物线的话，就怕不成了


反来说，焦点的极线就是准线啊，更特殊。
在高考下，椭圆第二定义是不考的。。。。盲点。。。。

不过，话说得说回来，解析几何证明也（比极点极线说起来简单）不难。

isee

今天就能看到部分试题，有点意外。

isee

椭圆竟然是全国卷I理科。

lemondian

回复 5# kuing


    那两个三角形相似呢？说详细点吧

kuing

回复 9# lemondian

妹的你动手画图没有啊，一画不就出来了吗？

lemondian

回复 10# kuing


    应该知道是那两个三角形相似的，卡在如何证其相似这个地方了，

isee

回复 11# lemondian

椭圆第二定义。

这么了，楼主不给个解析过程？

lemondian

回复 12# isee


    我没有答案哩

isee

回复 13# lemondian

当然是指自己写过程。。。。。。

lemondian

回复 12# isee


    第二定义我了解，但不会证两个三角形相似。要不你帮忙写一个，手机码字真不易。谢谢了

isee

回复 15# lemondian

注意梯形，两直角边成比例，不是直接证，再用平行倒内错角相等。






明天吧，明天写解析证明，即两直线的斜率之和相等。

isee

回复 15# lemondian


上图了，看图阴影两三角形相似（两边成比例，夹角相等).

lemondian

回复 17# isee


    明白了，原来还有要一个平行线分线段成比例定理，搞半天，真糗！谢谢你了

isee

回复 2# isee

回复 8# isee

本论坛实际上已经有圆中的几何证明。

（想对综合法，或者调和点列了解一下的话，可以看看，只需要）看10# 求证：三角形内切圆中的角相等，问题的提出。

30楼的补充（就是本楼的结论），28楼为调和点列证明，20楼为几何证明。

isee

楼上是突然想起来的。

全国卷I将“曾经”的第20题与第19题作了一个交换。
圆锥曲线反而为第19题，这个变化其实很大，是不是告诉我们要重视解析几何的通法通用？

椭圆第19题中$$\angle OMA=\angle OMB\iff k_{MA}+k_{MB}=0.$$

若直线$l$与$x$轴重合，此结论明显成立。否则设$l:x=my+1$，与椭圆联立，可得$$(m^2+2)y^2+2my-1=0,$$

设$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$则有$$y_1+y_2=-\frac{2m}{m^2+2},y_1y_2=-\frac 1{m^2+2}.$$

于是$$k_{MA}+k_{MB}=\frac {y_1}{x_1-2}+\frac{y_2}{x_2-2}=\frac{(x_1-2)y_2+(x_2-2)y_1}{…}，$$

再将$$x_1=my_1+1,x_2=my_2+1$$
代入上式分子，有$$k_{MA}+k_{MB}=\frac{2my_1y_2-(y_1+y_2)}{…}=0.$$