2018年浙江卷第17题 椭圆 新高考

isee

初看可以将B的  纵  坐标与m建立函数关系，不过，如何求最值，还不知。

横，消错元了，再试试。——茫然了，怎么搞出个无穷大，，，

已知点$P(0,1)$，椭圆$\frac{x^2}4 + y^2 = m (m > 1)$上两点$A$，$B$满足$\vv{AP}=2\vv{PB}$，则当$m=$___________时，点$B$横坐标的绝对值最大．

isee

计算水平真差劲啊，算出来了，$m=5$.

设$A(x_1,y_1),B(p,q)$，由$\vv{AP}=2\vv{PB}$可得$$x_1=-2p,y_1=-2q+3.$$

于是$$p^2+4q^2=4m,$$
$$4p^2+4(2q-3)^2=4m,$$

两式联立消$m$，整理$$p^2=-4(q-2)^2+4\leqslant 4.$$

满足题设，则$p^2=4,q=2$，代回，$$4+16=4m\Rightarrow m=5.$$

kuing

怎么不玩伸缩？

显然沿 `y` 轴方向伸缩不改变结论，所以作变换 `y\to2y`，此时 `P` 变成 `(0,2)`，椭圆变为圆 `x^2+y^2=4m`，如图：

作 `OH\perp AB` 于 `H`，由于 `PA=2PB` 且 `H` 是 `AB` 中点，可得 `PB=2PH`，所以 `|x_B|` 最大等价于 `|x_H|` 最大。

显然 `H` 的轨迹是圆，所以当 `H(\pm1,1)` 时取最大，此时 `PB=2\sqrt2`，设圆的半径为 `R`，由相交弦定理，有 `(R-2)(R+2)=PB\cdot PA=16`，解得 `R^2=20`，即 `4m=20`，`m=5`。

isee

回复 3# kuing


跟计算较劲呢。

话说今年没人集中放图片版的试卷呢，，，，

isee

怎么不玩伸缩？

显然沿 `y` 轴方向伸缩不改变结论，所以作变换 `y\to2y`，此时 `P` 变成 `(0,2)`，椭圆变 ...
kuing 发表于 2018-6-8 16:02

这个过程对几何要求高，不静心看的会看不明白。。。

不过，解法很好，基本不算。。。

乌贼

回复 3# kuing

过圆内定点的弦其中点轨迹为为圆，同样过椭圆内定点的弦其中点轨迹为椭圆且两椭圆离心率相等（未证明）则$ AB $中点$ M $的横坐标取得最大值时其坐标值为$ (\pm1,\dfrac{1}{2}) $，$ B $点坐标为$ (2,2) $有\[ m=\dfrac{x^2}{4}+y^2=1+4=5 \]

kuing

回复 6# 乌贼

是的，可以直接求 B 的坐标，3#也一样，就不需要用相交弦定理了，而我是故意用了