2018年全国卷2理科第12题 求椭圆离心率

isee

已知$F_1$ ，$F_2$ 是椭圆$C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\;(a > b > 0)$ 的左，右焦点，$A$是$C$的左顶点，点$P$在过$A$且斜率
为$\frac{\sqrt 3}6$ 的直线上，$\triangle PF_1F_2$ 为等腰三角形，$\angle F_1F_2P = 120^{\circ}$ ，则$C$的离心率为

zhcosin

等腰三角形只有顶角可以是钝角，所以 $F_1 F_2 = F_2 P = 2
  c$.并且 $\angle P F_1 F_2 = 30^{\circ}$，过点 $P$ 作直线 $F_1 F_2$
  的垂线，垂足为 $Q$，则 $P Q = P F_2 \sin \angle F_1 F_2 P =
  \sqrt{3} c$，而 $F_2 Q = P F_2 \cos \angle P F_2 Q = c$，在直角 $
  \triangle P A Q$中.有
  \[ \frac{\sqrt{3}}{6} = \tan \angle P A Q = \frac{P Q}{A Q} = \frac{P Q}{A
     F_1 + F_1 F_2 + F_2 Q} = \frac{\sqrt{3} c}{(a - c) + 2 c + c} =
     \frac{\sqrt{3} c}{a + 2 c} \]
  于是 $a = 4 c$，即 $e = \frac{1}{4}$.

isee

回复 2# zhcosin


你把图片搞得如主楼一样小，真是狠。。。看得眼睛发漂。。

zhcosin

回复 3# isee
不是图片小，是字小。。。。

乌贼

\[ F_2H=c,PH=\sqrt{3}c\\AH=\dfrac{6PH}{\sqrt{3}}=6c\\a=AO=4c\\e=\dfrac{1}{4}\]

游客

试卷里浪费了一个题的位置，这个到底在考什么？

shidilin

回复 6# 游客
可以参考网上的段子：
试题难度：往年，衡水；今年、很水