2021年全国卷乙第11题 椭圆离心率

isee

疑似是个陈题，好像只好解析算$PB$取最值的点，选C

isee

题：

设`B`是椭圆`C:\frac {x^2}{a^2}+\frac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)`的上顶点，若`C`上任意一点`P`都满足`\abs{PB}\leqslant 2b`，则`C`的离心率的取值范围是(      )

C. `\left(0,\frac{\sqrt 2}2\right]`

解，设`P(a\cos\alpha,b\sin\alpha)`，则
\begin{align*}
\abs{PB}^2=a^2\cos^2\alpha+b^2(\sin\alpha-1)^2&\leqslant 4b^2\\[1em]
\frac{b^2}{a^2}&\geqslant \frac{\cos^2\alpha}{4-(\sin\alpha-1)^2}\\[1em]
&=\frac{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)(3-\sin\alpha)}\\[1em]
&=\frac 1{1+\frac 2{1-\sin\alpha}}\\[1em]
&\in \left(0,\frac 12\right]
\end{align*}

依题有`b^2/a^2\geqslant \frac 12`，于是`\mathrm e\in \left(0,\frac {\sqrt 2}2\right]`，选 C.

kuing

这肯定是陈题啊……

令 `P(x,y)`，有
\[PB^2=x^2+(y-b)^2=\frac{a^2}{b^2}(b^2-y^2)+(y-b)^2,\]则
\[PB^2-(2b)^2=\frac{a^2}{b^2}(b^2-y^2)+(y+b)(y-3b)=(y+b)\left( \frac{b^2-a^2}{b^2}y+\frac{a^2}b-3b \right),\]由于 `y\in[-b,b]`，第一个括号恒非负，需要第二个括号恒非正，而第二个括号关于 `y` 递减，所以只需
\[\frac{b^2-a^2}{b^2}\cdot(-b)+\frac{a^2}b-3b\leqslant0,\]化简得 `a^2\leqslant2b^2`。