2021年新高考全国卷2第8题 抽象函数的性质 单选题

isee

第8题，是单项选择题

已知函数\(f(x)\)的定义域为\(\mathbf{R}\)，\(f(x+2)\)为偶函数，\(f(2x+1)\)为奇函数，则（    ）

    A．\(f\left( -\frac{1}{2} \right)=0\)       B．\(f(-1)=0\)       C．\(f(2)=0\)        D．\(f(4)=0\)

我怎么觉得这题目不对劲呢，如`f(x)=0`则四个选项都对


当然，源自网络，可能不严谨

kuing

？？题目没问题啊，怎么会说取 f(x)=0 就……？？

kuing

由条件知 `f(1)=0` 且 `f(2x+1)=-f(-2x+1)=-f(-2x-1+2)=-f(2x+1+2)=f(2x+3)`，所以 `f(\text{奇数})=0`。

isee

回复 2# kuing


    取`f(x)=0`，则`f(x+2)`为偶函数,`f(2x+1)`为奇函数，所以说四个选项都对

kuing

回复 4# isee

f(x)=0 满足条件，但满足条件的不止这一个函数啊，取别的函数那些就不对了，这也有疑问？

isee

由条件知 `f(1)=0` 且 `f(2x+1)=-f(-2x+1)=-f(-2x-1+2)=-f(2x+1+2)=f(2x+3)`，所以 `f(\text{奇数})=0`。 ...
kuing 发表于 2021-6-26 21:37

我擦，，，真直接，，，厉害厉害了

isee

回复  isee

f(x)=0 满足条件，但满足条件的不止这一个函数啊，取别的函数那些就不对了，这也有疑问？ ...
kuing 发表于 2021-6-26 21:39

我明白你的意思了，严谨来说，“下面选项一定成立的是”

isee

`f(2x+1)=-f(-2x+1)=-f(-2x-1+2)={\color{red}-f(2x+1+2)=f(2x+3)}`
kuing 发表于 2021-6-26 21:37

红色部分，负号如何 化掉的？

kuing

回复 8# isee

不好意思，这是打漏了，负号还是有嘀

isee

由条件知 `f(1)=0` 且 `f(2x+1)=-f(-2x+1)=-f(-2x-1+2)=-f(2x+1+2)=f(2x+3)`，所以 `f(\text{奇数})=0`。 ...
kuing 发表于 2021-6-26 21:37

紧接3#，添上负号之后，其实主完全正确了，可以选B了
对于纯新手，也是可以负号化掉，化为熟悉的周期，即：$f(2x+1)=\cdots=-f(2x+3)=f(2x+5)$，所以所以 $f(4n+1)=0$，其中`n`是整数，亦可选B了。

===
由11#12#特修改了一下“说法”

kuing

回复 10# isee

就 `f(1)=0` 且 `f(2x+1)=-f(2x+3)` 就能推出 `f(\text{奇数})=0` 了啊，不需要再 = f(2x+5)
我那真是纯粹打漏……

isee

回复 11# kuing


是的，并不是错了，我只是细化照顾了一下＂新手＂，接近初学者思路。