如何求椭圆的两条切线与切点弦围成的三角形面积?

lemondian

已知$P(x_0,y_0)$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$外的一点，过$P$作椭圆的两条切线，切点为$A,B$，求$\triangle PAB$的面积(面积能否用$x_0,y_0，a,b$表示？)。

kuing

拉伸成圆就好了啊

lemondian

回复 2# kuing
写不好，@kuing你来一波？

kuing

沿 `y` 轴拉伸，椭圆变成圆 `x^2+y^2=a^2`，`P` 变成 `(x_0,\frac aby_0)`，于是
\[OP=\sqrt{x_0^2+\frac{a^2}{b^2}y_0^2},\]此时 `\triangle PAB` 等腰，设底为 `l`，高为 `h`，有
\begin{align*}
h&=\frac{PA^2}{OP}=\frac{OP^2-a^2}{OP},\\
l&=2\sqrt{PA^2-h^2}=2\sqrt{OP^2-a^2-\left( \frac{OP^2-a^2}{OP} \right)^2},\\
S&=\frac12hl=\frac{OP^2-a^2}{OP}\sqrt{OP^2-a^2-\left( \frac{OP^2-a^2}{OP} \right)^2},
\end{align*}把 `OP` 的表达式代回去化简，最后乘回 `b/a`，就是拉伸前的面积，具体就不算了。

lemondian

回复 4# kuing
谢谢了！我开始是直接用切点弦，弦长公式来算，运算量好大，算了半天都没搞对。
有一个问题：
椭圆可以利用伸缩变换做，如果题目将椭圆改为双曲线呢？

kuing

那还是先把 4# 续一下，昨晚太懒……

4# 最后一式
\[S=\frac{OP^2-a^2}{OP}\sqrt{OP^2-a^2-\left( \frac{OP^2-a^2}{OP} \right)^2}\]实际上可以化简为
\[S=\frac{a\sqrt{(OP^2-a^2)^3}}{OP^2},\]代入 `OP^2=x_0^2+\frac{a^2}{b^2}y_0^2` 后可得
\[S=\frac{a^2}{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}}\sqrt{\left( \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1 \right)^3},\]所以拉伸之前的就是
\[S=\frac{ab}{\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}}\sqrt{\left( \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}-1 \right)^3},\]这就是椭圆情形的最终表达式。

据此，我不管三七二十一直接断言对于一般的 `Ax^2+By^2=1` 将会有
\[S^2=\left| \frac{(Ax_0^2+By_0^2-1)^3}{AB(Ax_0^2+By_0^2)^2} \right|,\]不验证也不管证明反正抛出来就走人

hejoseph

不需要做变换啊，直接计算 $AB$ 以及点 $P$ 到 $AB$ 的距离就完了。kuing 最后给的公式基本对了，但要去掉绝对值，因为点在椭圆内部或双曲线不存在切线的地方计算出来的值就是负数，面积也就不存在了。

kuing

回复 7# hejoseph

哦，绝对值本来是没有的，是在发送前临时加的……
因为我突然想到会不会有符号问题干脆加绝对值保平安，结果反而画蛇添足了

hejoseph

回复  kuing
谢谢了！我开始是直接用切点弦，弦长公式来算，运算量好大，算了半天都没搞对。
有一 ...
lemondian 发表于 2021-7-2 10:10

不明白为什么说运算量很大，直线与圆锥曲线交点形成的弦长不是用韦达定理就可以了吗？根本不需要解方程的。点到定直线的距离也有现成公式的。