将四年前的某道函数方程题解完

kuing

话说在2010年2月8日，我在352在群里看到这样一道题

2507*****(2507*****) 18:02:03
设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的函数，满足
\[
f(0)=0, f(1)=1
\]
对所有的 $x, y \in[0,1], x \leq y$ 有
\[
f\left(\frac{x+y}{2}\right)=(1-a) f(x)+a f(y)
\]
其中 $0<a<1$ ，求 $f\left(\frac{1}{7}\right)$

当时我发现 $a$ 只能等于 $1/2$，然后给出如下过程

249533164<kuingggg@qq.com> 19:10:10

然而却没解下去了，不知为什么。

今晚人教群里网友 爱好-1bk3(2047******) 发了一道题

爱好-1bk3(2047******)  19:22:27

求教第二问

我就找到了上面的聊天记录，之后 爱好-1bk3 认为必定 $f(x)=x$，但我觉得未必，柯西方程之类的东西接触多了，像这种函数方程如无意外都无法确定解析式，不过我又暂时写不出来，因为那种变态函数我还未曾弄懂过。

那么，最上面那道题最后应该怎么求 $f(1/7)$ 呢？下面来把它解完。

下面所设的变量默认在 $[0,1]$ 内。

我们已经知道 $a=1/2$，即
\[f\left( \frac{x+y}2 \right)=\frac12f(x)+\frac12f(y),\]
于是
\begin{align*}
f\left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4 \right)&=f\left( \frac{\frac{x_1+x_2}2+\frac{x_3+x_4}2}2 \right) \\
& =\frac12f\left( \frac{x_1+x_2}2 \right)+\frac12f\left( \frac{x_3+x_4}2 \right) \\
& =\frac14f(x_1)+\frac14f(x_2)+\frac14f(x_3)+\frac14f(x_4),
\end{align*}
于是
\begin{align*}
f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_8}8 \right)&=f\left( \frac{\frac{x_1+x_2}2+\cdots +\frac{x_7+x_8}2}4 \right) \\
& =\frac14f\left( \frac{x_1+x_2}2 \right)+\cdots +\frac14f\left( \frac{x_7+x_8}2 \right) \\
& =\frac18f(x_1)+\frac18f(x_2)+\cdots +\frac18f(x_8),
\end{align*}
令
\[x_8=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7,\]
此时有
\[\frac{x_1+x_2+\cdots +x_8}8=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7+\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7}8=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7,\]
于是
\[f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7 \right)=\frac18f(x_1)+\frac18f(x_2)+\cdots +\frac18f(x_7)+\frac18f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7 \right),\]
整理即得
\[f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7 \right)=\frac17f(x_1)+\frac17f(x_2)+\cdots +\frac17f(x_7),\]
现在，令$x_1=x_2=\cdots =x_6=0$, $x_7=1$，代入即得
\[f\left( \frac17 \right)=\frac17f(1)=\frac17.\]

kuing

上述方法其实还是反向归纳的思路了，先推 $2^n$，再由 $n$ 推 $n-1$，总之，我们可以得到，对于任意正整数 $n$，都有
\[f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)=\frac1nf(x_1)+\frac1nf(x_2)+\cdots+\frac1nf(x_n),\]
于是对于 $(0,1)$ 内的任意有理数 $p/q$，令 $n=q$, $x_1=x_2=\cdots=x_p=1$，则
\[f\left(\frac pq\right)=\frac pqf(1)=\frac pq,\]
尽管如此，我还是觉得无理数方面未必有 $f(x)=x$，这个问题仍然有待研究。

其妙

回复 2# kuing
牛笔！

转化与化归

回复 2# kuing
构造的妙！

其妙

回复 2# kuing
果然是留空回填法的思路！几乎都忘了，现在又学习了！
7个数的平均的做法可由8个数的平均来得到，而8个数的平均可由迭代（或者类似于细胞分裂）轻易得到！

chen、bin

学习

chen、bin

请 kuing 给链接到
bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&t … 6&extra=page%3D1

chen、bin

让所有人都能学到

Tesla35

来自单墫算两次：
\[
a=(1-a) a^2+a\left(2 a-a^2\right)
\]
从而\[
\begin{gathered}
a(a-1)\left(a-\frac{1}{2}\right)=0 \\
\text { 求得 } a=\frac{1}{2}, f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{1}{2}(f(x)+f(y))
\end{gathered}
\]
特别地，取 $x=0$ ，得
\[
f\left(\frac{y}{2}\right)=\frac{1}{2} f(y)
\]于是\[
f\left(\frac{2}{7}\right)=2 f\left(\frac{1}{7}\right), f\left(\frac{4}{7}\right)=2 f\left(\frac{2}{7}\right)=4 f\left(\frac{1}{7}\right)
\]
另一方面
\[
f\left(\frac{4}{7}\right)=f\left(\frac{\frac{1}{7}+1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{1}{7}\right)+1\right)
\]
所以
\[
\begin{aligned}
& 4 f\left(\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{2}\left(f\left(\frac{1}{7}\right)+1\right) \\
& f\left(\frac{1}{7}\right)=\frac{1}{7}
\end{aligned}
\]

力工

回复 1# kuing


    牛淫啊，拜服kuing神人

isee

来自单墫算两次：
Tesla35 发表于 2014-10-9 22:54

    跟学生说了这种反复利用已经的推，反复构造尝试，学生是可以整出来的，很多时候。。。

存★在！！

$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2} \Rightarrow$ 函数图象上任意两点的连线段的中点俯在函数图象上。
又：任意两个有理数之间的任意一个有理数，都可以通过二分法来构造。
例如：$\frac{1}{2^{n}-1}=\frac{\frac{2^{n}-1}{2^{n}-1}+\frac{1}{2^{n}-1}}{2^{n}}, \frac{1}{2^{n}-m}=\frac{\frac{2^{n}-m}{2^{n}-m}+\frac{1}{2^{n}-m} \cdot m}{2^{n}}(m$ 为奇数），
\[
\frac{p}{q}=\frac{p+ \frac{2^{n}-pq}{q}}{2^{n}}\left(2^{n-1}<pq<2^{n}\right) \text {. (分子个数不足就用 } 0 \text { 去补) }
\]
所以，所有有理数对应的点都在线段上。
这个问题是否可以推广为：
$f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y) \quad$（其中 $\lambda, ~ \mu$ 为有理数常数，且 $\lambda+\mu=1)$ ？

已知 $A, ~ B$ 为两定点，$M$ 为一未知点，若 $A_1$ 是线段 $B M$ 上一点，点 $A_2$ 为线段 $A A_1$ 上一点，而且 $A_1, ~ M, ~A_2$ 三点共线，则容易证明：点 $M$ 在直线 $A B$ 上。所以问题的关键就在于能否构造了。
当 $\lambda=\mu=\frac{1}{2}$ 时，就用二分法进行构造，否则根据分母进行定比分点若干次。比如：
当 $\lambda=\frac{2}{5}, ~ \mu=\frac{3}{5}$ 时，$\frac{3}{8}=\frac{\left(\frac{3}{8} \times 3+1 \times 2\right) \times 3+0 \times 2}{25}$ ．
感觉这个应该是有向线段若干次定比分点的能否被覆盖的问题。

isee

今天又碰到此题了，来学习下。

这标题很难看到是关于抽象函数的，故收藏一下。

kuing

回复 14# isee

很难看到？“函数方程”、“抽象函数”不是差不多的东西么，说起来，前者还更正规点吧……

isee

回复 15# kuing

哈哈，只是帖子难找，时间久了。

今天主要是标记一下，好找。。