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话说在2010年2月8日，我在352在群里看到这样一道题
2507*****(2507*****) 18:02:03
我们学校的竞赛考试中上面这题有什么简单方法吗？
当时我发现 $a$ 只能等于 $1/2$，然后给出如下过程
然而却没解下去了，不知为什么。
今晚人教群里网友 爱好-1bk3(2047******) 发了一道题
爱好-1bk3(2047******) 19:22:27
求教第二问
我就找到了上面的聊天记录，之后 爱好-1bk3 认为必定 $f(x)=x$，但我觉得未必，柯西方程之类的东西接触多了，像这种函数方程如无意外都无法确定解析式，不过我又暂时写不出来，因为那种变态函数我还未曾弄懂过。
那么，最上面那道题最后应该怎么求 $f(1/7)$ 呢？下面来把它解完。
下面所设的变量默认在 $[0,1]$ 内。
我们已经知道 $a=1/2$，即
\[f\left( \frac{x+y}2 \right)=\frac12f(x)+\frac12f(y),\]
于是
\begin{align*}
f\left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4 \right)&=f\left( \frac{\frac{x_1+x_2}2+\frac{x_3+x_4}2}2 \right) \\
& =\frac12f\left( \frac{x_1+x_2}2 \right)+\frac12f\left( \frac{x_3+x_4}2 \right) \\
& =\frac14f(x_1)+\frac14f(x_2)+\frac14f(x_3)+\frac14f(x_4),
\end{align*}
于是
\begin{align*}
f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_8}8 \right)&=f\left( \frac{\frac{x_1+x_2}2+\cdots +\frac{x_7+x_8}2}4 \right) \\
& =\frac14f\left( \frac{x_1+x_2}2 \right)+\cdots +\frac14f\left( \frac{x_7+x_8}2 \right) \\
& =\frac18f(x_1)+\frac18f(x_2)+\cdots +\frac18f(x_8),
\end{align*}
令
\[x_8=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7,\]
此时有
\[\frac{x_1+x_2+\cdots +x_8}8=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7+\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7}8=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7,\]
于是
\[f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7 \right)=\frac18f(x_1)+\frac18f(x_2)+\cdots +\frac18f(x_7)+\frac18f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7 \right),\]
整理即得
\[f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots +x_7}7 \right)=\frac17f(x_1)+\frac17f(x_2)+\cdots +\frac17f(x_7),\]
现在，令$x_1=x_2=\cdots =x_6=0$, $x_7=1$，代入即得
\[f\left( \frac17 \right)=\frac17f(1)=\frac17.\] |
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其妙
发表于 2014-5-30 22:44
