近期在学习不等式，来一个高考有关的不等式

lemondian

23．（2017•新课标 II）已知 $a>0, b>0, a^3+b^3=2$ ，证明：
（1）$(a+b)\left(a^5+b^5\right) \geqslant 4$ ；
（2）$a+b \leqslant 2$ ．
看看有没有多种做法？
特别是第2小问的多种做法

kuing

forum.php?mod=viewthread&tid=4333

lemondian

回复 2# kuing


    谢谢Kuing!，我是用反证法来证的

lemondian

换元，a^3=1+t,b^3=1-t,t∈R，利用导数最大值。

这个方法，我试了一下，好象总有点写不好，Kuing帮下忙？

下面构造函数是否正确？
由 $a^3+b^3=2$，设 $a^3=1+t, b^3=1-t(-1<t<1)$，令 $f(t)=(1+t)^{\frac{1}{3}}+(1-t)^{\frac{1}{3}}$，则 $f'(t)=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{(1+t)^{\frac{2}{3}}}-\frac{1}{(1-t)^{\frac{2}{3}}}\right]$，易知当 $t \in(-1,0)$ 时，$f(t)$ 单调递增；当 $t \in(0,1), f(t)$ 单调递减。所以 $f(t)$ 的最大值为 $f(0)=2$ ，故有 $f(t)=(1+t)^{\frac{1}{3}}+(1-t)^{\frac{1}{3}}=a+b \leq 2$ ，当且仅当 $t=0$ ，即 $a=b=1$ 时，等号成立。