二元不等式 一道小菜 希望大家看看

facebooker

已知正数$x,y$满足：$x+y=2,pro:\sqrt{x^2+8}+\sqrt{y^2+8}+\sqrt{xy+8}\geqslant 9$

kuing

强于这个：forum.php?mod=viewthread&tid=4802
弱于这个：forum.php?mod=viewthread&tid=6163

我来提一个更强的：
`x`, `y\geqslant0`, `x+y=2`，求证
\[\sqrt{x^2+\frac{25}{24}}+\sqrt{y^2+\frac{25}{24}}+\sqrt{xy+\frac{25}{24}}\geqslant\frac74\sqrt6.\]

facebooker

回复 2# kuing

多谢 感觉有点孙悟空的感觉 36般变化 但是有这两个题目的解法 应该足够对付这个题目了 我再消化吸收一下！

facebooker

回复 1# facebooker

看了大佬的链接 模仿一下解法就是：
$\sqrt{x^2+8}\geqslant \frac{x+5}{2}+\frac{4}{3}(x-1)^2$
剩下就简单了 大佬的思路确实让人茅塞顿开

kuing

回复 4# facebooker

你没仿对，(x+5)/2 都不是那根号的切线。

facebooker

回复 5# kuing
晕 那怎么做啊 不会了。。。

kuing

回复 6# facebooker

我都提到切线了，意思就是要用 x=1 处的切线来作差放缩啊

facebooker

回复 7# kuing

老大你说的切线不懂啊 我就是高仿了你的那个解法啊 一个是分式  一个是平方项

kuing

回复 8# facebooker

你把你的过程写给我看看。

facebooker

回复 9# kuing

$
\sqrt{x^2+8}\geqslant \frac{x+5}{2}+\frac{4}{3}(x-1)^2
\\\sqrt{y^2+8}\geqslant \frac{y+5}{2}+\frac{4}{3}(y-1)^2
\\ \Rightarrow \sqrt {x^2+8}+\sqrt{y^2+8}\geqslant6+\frac{4}{3}({(x-1)^2+(y-1)^2})=6+
\frac{4}{3}({(x-1)^2+(y-1)^2})=2(1-xy)
\\ \Rightarrow \sqrt {x^2+8}+\sqrt{y^2+8}\geqslant6+\frac{4}{3}({(x-1)^2+(y-1)^2})+\sqrt{xy+8}\geqslant 6+ \frac{8}{3}(1-xy)+\sqrt{xy+8}\geqslant 9,
\\ \Rightarrow  \frac{8}{3}(1-xy)+\sqrt{xy+8}\geqslant 3,0<xy\leqslant 1.


$

kuing

回复 10# facebooker

唉……我意思是说，让你把怎么推导 $\sqrt{x^2+8}\geqslant \frac{x+5}{2}+\frac{4}{3}(x-1)^2$ 的过程写给我看。
我说你没仿对，(x+5)/2 不是切线，意味着这个不等式一定是错的，所以我想看看你到底怎么推的，错在哪里。
唉……

facebooker

回复 11# kuing

就是瞎模仿 哈哈 可惜模仿错了。。。

kuing

回复 12# facebooker

那你到底是怎么写出来的，将那帖的 (x+3)/2 改成 (x+5)/2 我还勉强能猜到你的想法，是为了 x=1 取等，但 4/3 是怎么来的？应该都经过计算吧？然而一旦计算过应该就会发现情况不同了，就会知道这样改是不行的，于是我就想不通了。

facebooker

回复 13# kuing

就是随便写的 本来想通过一个待定系数算一下 结果不知道怎么算的出来一个4/3。。。也没验证一下 所以没发现错误。

老大 给个正确的思路吧。

kuing

回复 14# facebooker

我还是只能说7楼的。

facebooker

回复 15# kuing

谢谢 那我就试试切线作差试试