a,b正数，$a+2b=1$,求$a^2+b^2+\frac{9}{125ab}$的最小值

郝酒

RT

Tesla35

$$\begin{aligned}&a^2+b^2+\frac{9}{125ab}\\
=&-\frac{7}{20}(a+2b)^2+\frac{27}{20}a^2+\frac{48}{20}b^2+\frac{28}{20}ab+\frac{9}{125ab}\\
\geqslant&-\frac{7}{20}(a+2b)^2+\left(2\sqrt{\frac{27}{20}\times\frac{48}{20}}+\frac{28}{20}\right)ab+\frac{9}{125ab}\\
=&-\frac{7}{20}+5ab+\frac{9}{125ab}\\
\geqslant&-\frac{7}{20}+2\sqrt{\frac{5\times9}{125}}\\
=&\frac{17}{20}\end{aligned}$$
当且仅当$a=\frac{2}{5},b=\frac{3}{10}$时,等号成立.

kuing

又是这种题——本质涉及高次方程，命题者凑好的数据使之有简单的根，所以能解，然而随便改一个数字就解不了，所以没有推广意义。
对于这种题，你只要用任意方法（BaoLi解、猜、开挂等随便你）得知取等或最终结果，心中有数了便能随手写出各种装逼解法。
比如楼上的均值，或者下面的均值：
\begin{align*}
a^2+b^2+\frac9{125ab}&=a^2+0.4^2+b^2+0.3^2+\frac9{125ab}-0.5^2\\
&\geqslant0.8a+0.6b+\frac9{125ab}-0.25\\
&=1.5a+2b+\frac9{125ab}-0.7(a+2b)-0.25\\
&\geqslant3\sqrt[3]{1.5\cdot2\cdot\frac9{125}}-0.7-0.25\\
&=\frac{17}{20};
\end{align*}
又比如一行型：
\[a^2+b^2+\frac{9(a+2b)^4}{125ab}=\frac{17}{20}(a+2b)^2+\frac{(3a-4b)^2(4a+3b)(a+12b)}{500ab}\Rightarrow a^2+b^2+\frac9{125ab}\geqslant\frac{17}{20};\]
又又比如另一种一行型：
\[a^2+b^2+\frac9{125ab}=\frac{3(3a-4b)^2}{20}+\frac{(25ab-3)^2}{125ab}-\frac{7(a+2b)^2}{20}+\frac65\geqslant -\frac7{20}+\frac65=\frac{17}{20};\]
等等等等…………

郝酒

谢谢ku版和Tesla，我还想问一下，它涉及怎样一个高次方程呢？是消元求导得到的吗？

敬畏数学

够吓人的！

kuing

回复 4# 郝酒

你自己试试看呗。

郝酒

消元求导得到一个五次方程，刚好有一解是3/10