一个圆内弦长比例问题，求范围

力工

作业题：点$P$是单位圆$O$的内一点，且$OP=x>0$，作圆$O$过点P的弦$AB$，若$AP=2PB$,求$x$的范围。
答案是$\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant<1$.
但我算错了，过程如下，请问错在哪？正确思路是什么？
$作过OP的直径，由相交弦定理，有PA\cdot PB=(1+x)(1-x),2PB^2=1-x^2>0$,
由垂径定理，$O$到$AB$的距离为$\sqrt{1-(\frac{3BP}{2})^2}$,
根据面积公式，有$\triangle OPA$的面积
$S=\frac{1}{2}AP\cdot\sqrt{1-(\frac{3BP}{2})^2}$
$= \frac{1}{2}OP\cdot OAsin\angle AOP\leqslant\frac{1}{2}OP\cdot OA $
$x\geqslant 2BP\cdot \sqrt{1-(\frac{3BP}{2})^2}$恒成立，求得右边的最大值为$\frac{2}{3}$.

kuing

`x\geqslant 2BP\cdot \sqrt{1-(\frac{3BP}{2})^2}` 这条式子本身就对任意 `x\in(0,1)` 恒成立（不信你把函数图像画出来瞧瞧），并不能解出 `x` 的范围。

kuing

正确的思路很简单啊，易证 `PA`, `PB\in[1-x,1+x]`，有
\[\frac{1-x}{1+x}\leqslant\frac{PA}{PB}\leqslant\frac{1+x}{1-x},\]
当 `AB` 为直径时取等号，所以要满足题意只需
\[\frac{1+x}{1-x}\geqslant2\iff\frac13\leqslant x<1.\]