Lagrange恒等式向量形式

hbghlyj

设 $P_1, P_2, \dots, P_n$ 是单位球上的点。证明：$$\sum_{1 \leq i<j \leq n} P_iP_j^2 \leq n^2$$

hbghlyj

将这些点视为单位向量 $v_1, v_2, \dots, v_n$，距离为 $P_iP_j = \|v_i - v_j\|$.

考虑Lagrange恒等式，对于任意向量 $v_1, \dots, v_n$：
$$n \left( \sum_{i=1}^n \|v_i\|^2 \right) - \left\| \sum_{i=1}^n v_i \right\|^2 = \sum_{i < j} \|v_i - v_j\|^2$$

验证

在一维情况下：对于实数 $a_1, \dots, a_n$，有$$\left(\sum 1^2 \right)\left( \sum a_i^2 \right)  - \left(\sum a_i \right)^2 = \sum_{i < j} (a_i - a_j)^2$$
我们可以将恒等式应用到每个坐标上，然后求和。

那么：
$$\sum_{i < j} \|v_i - v_j\|^2 = n \sum \|v_i\|^2 - \left\| \sum v_i \right\|^2 = n^2 - \left\| \sum v_i \right\|^2$$
因此 $\sum_{i < j} \|v_i - v_j\|^2 \leq n^2$，等号成立当且仅当 $\sum v_i=0$，质心在原点。