解析几何试题

aishuxue

椭圆方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$F$ 为左焦点，$P, Q$ 在椭圆上，且 $\overrightarrow{F P}=\lambda \overrightarrow{Q F}$，且 $\lambda \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$，求 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 的最大值．

其妙

不晓得要写好多过程哟，

战巡

回复 1# aishuxue


最烦这些烂向量了，PQ过F不就完了，硬是要弄个向量出来，而且还没事给个范围，最后发现根本没用........

易证$PQ$过$F(-1,0)$，有直线参数方程：
\[\begin{cases} x=-1+t\cos(\theta) \\ y=t\sin(\theta)\end{cases}\]
于是有
\[\frac{(-1+t\cos(\theta))^2}{2}+(t\sin(\theta))^2=1\]
\[(\frac{\cos^2(\theta)}{2}+\sin^2(\theta))t^2-\cos(\theta)t-\frac{1}{2}=0\]
\[t_1+t_2=\frac{\cos(\theta)}{(\frac{\cos^2(\theta)}{2}+\sin^2(\theta))}=\frac{4\cos(\theta)}{\cos(2\theta)-3}\]
\[t_1t_2=\frac{2}{\cos(2\theta)-3}\]
而后有
\[\overrightarrow{OP}·\overrightarrow{OQ}=(-1+t_1\cos(\theta))(-1+t_2\cos(\theta))+t_1\sin(\theta)t_2\sin(\theta)=t_1t_2-(t_1+t_2)\cos(\theta)+1\]
带入上面的化简得到
\[\overrightarrow{OP}·\overrightarrow{OQ}=3-\frac{10}{3-\cos(2\theta)}\]
当$\theta=\frac{\pi}{2}$时有最大值$\frac{1}{2}$

转化与化归

标准答案发上来供参考


$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ ，此时 $\lambda=1 \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$

kuing

向量+不等式

设 $\abs{FP}=p$, $\abs{FQ}=q$，直线 $PQ$ 的倾斜角为 $\theta$，由对称性，不妨设 $\theta\leqslant90\du$，此时 $p\geqslant q$。

我们有熟知的结论
\[\frac1p+\frac1q=\frac{2a}{b^2},\]
于是
\begin{align*}
\vv{OP}\cdot\vv{OQ}&=\bigl(\vv{OF}+\vv{FP}\bigr)\cdot\bigl(\vv{OF}+\vv{FQ}\bigr) \\
& =\vv{OF}^2-\vv{FO}\cdot\bigl(\vv{FP}+\vv{FQ}\bigr)+\vv{FP}\cdot\vv{FQ} \\
& =c^2-c(p-q)\cos \theta -pq \\
& \leqslant c^2-pq \\
& \leqslant c^2-\left( \frac2{\frac1p+\frac1q} \right)^2 \\
& =c^2-\frac{b^4}{a^2},
\end{align*}
当且仅当 $\theta=90\du$ 即 $p=q$ 时取等号。

kuing

楼上的方法结合极坐标也可以推出 3# 的结果。

利用极坐标，易知
\[p=\frac{b^2}{a-c\cos\theta}, q=\frac{b^2}{a+c\cos\theta},\]
于是
\begin{align*}
\vv{OP}\cdot\vv{OQ}&=\bigl(\vv{OF}+\vv{FP}\bigr)\cdot\bigl(\vv{OF}+\vv{FQ}\bigr) \\
& =\vv{OF}^2-\vv{FO}\cdot\bigl(\vv{FP}+\vv{FQ}\bigr)+\vv{FP}\cdot\vv{FQ} \\
& =c^2-c(p-q)\cos \theta -pq \\
& =c^2-c\left( \frac{b^2}{a-c\cos\theta}-\frac{b^2}{a+c\cos\theta} \right)\cos\theta -\frac{b^2}{a-c\cos\theta}\cdot\frac{b^2}{a+c\cos\theta} \\
& =c^2-\frac{2b^2c^2\cos^2\theta+b^4}{a^2-c^2\cos^2\theta} \\
& =c^2+2b^2-\frac{2a^2b^2+b^4}{a^2-c^2\cos^2\theta} \\
& =a^2+b^2-\frac{4a^2b^2+2b^4}{a^2+b^2-(a^2-b^2)\cos2\theta}.
\end{align*}

踏歌而来

回复 5# kuing

$请问pq≥(\frac{2}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}})^2是什么公式？$
一开始以为是权方和，但我找了一下资料，好像不是。

kuing

回复 7# 踏歌而来

几何平均 >= 调和平均

当然，你可以去分母，变成最简单的均值，随意……