来自QQ空间动态的 $a\sqrt b+b\sqrt c$ 最大值

kuing

题目：若 $a$, $b$, $c>0$，满足 $a+b+c=1$，求 $a\sqrt b+b\sqrt c$ 的最大值。

刚刚在QQ空间的动态里看到了此题，虽然不知是谁问的，闲着也玩玩吧。
第一感觉把 $\sqrt b$ 提出来，然后想到的是柯西，但是得配凑一下系数（可以通过待定系数得到，无需先猜答案），得到如下解法。

\begin{align*}
a\sqrt b+b\sqrt c&=\sqrt b(a+\sqrt{bc}) \\
& \leqslant \sqrt b\sqrt{\left( a+\frac12b \right)(a+2c)} \\
& =\sqrt{\frac23}\cdot \sqrt{\frac32b\left( a+\frac12b \right)(a+2c)} \\
& \leqslant \sqrt{\frac23}\cdot \sqrt{\frac1{27}\left( \frac32b+a+\frac12b+a+2c \right)^3} \\
& =\frac49,
\end{align*}
当 $a=b=4/9$, $c=1/9$ 时取等。

isee

看过程多么简单

isee

换元，消元，化成函数暴力求，这样可以不？

记$\sqrt b=m,\sqrt c=n$，则若$a+m^2+n^2=1$，求$am+m^2n$的最大值。
消$a$，看成$n$的主元
\begin{align*}
am+m^2n&=(1-m^2-n^2)m+m^2n\\
&=-mn^2+m^2n+m-m^3
\end{align*}
将上式看成$n$的函数，求导，知取大值时$m=2n$，于是
\begin{align*}
(am+m^2n)_{\max}&(=2n-6n^3)=m-\frac 34m^3
\end{align*}
上次看成$m$的函数，再次求导，知，$m=\dfrac 23$时，$(am+m^2n)_{\max}=\dfrac 49$。
此时$b=4c=\dfrac 49,a=\dfrac 49$。

这样处理多元，可否?

kuing

回复 3# isee

应该可以，也可以省些求导，改成配方。
这是比较容易想到的解法

isee

回复 4# kuing


具体如何配方？

kuing

回复 5# isee

\[
-mn^2 + m^2n + m - m^3 = -m\left(n-\frac m2\right)^2+m-\frac34m^3
=-m\left(n-\frac m2\right)^2-\frac1{36}(3m+4)(3m-2)^2+\frac49
\]

isee

回复 6# kuing


    功力深厚

kuing

当时好像还看到 v6 的一个均值解法

tommywong

推广能够吗？
$a,b,c,d>0$，$a+b+c+d=1$,求$a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{d}$的最大值

其妙

这儿也有：
blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102v6lp.html