来自某教师群的$a\sqrt{a^2+x^2}+b\sqrt{b^2+y^2}$最小值

kuing

虽然发了书，还是停不下来，继续撸！

【司令】广州二中邓Sir.(9022***) 14:53:22

这道题有没有简单的解法？
各位抢红包抢累了，也该看看数学题了

……

【司令】中山温老师(2865*****) 21:31:05


……

【军长】广州kuing(249533164)  23:28:43

其实导数法已经很简单了

kuing

代码存档：
由CS有
\[a\sqrt{a^2+x^2}=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+x^2)}\geqslant \frac{a(a^2+bx)}{\sqrt{a^2+b^2}}, \]
同理
\[b\sqrt{b^2+y^2}\geqslant \frac{b(b^2+ay)}{\sqrt{a^2+b^2}}, \]
相加得
\[a\sqrt{a^2+x^2}+b\sqrt{b^2+y^2}\geqslant \frac{a(a^2+bx)+b(b^2+ay)}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a^3+b^3+ab(a+b)}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{a^2+b^2}(a+b), \]
当 $x:y=b:a$ 时取等。