根式和范围

天音

已知a,b,c>=0且a+b+c=1求$\sqrt{a+(b-c)^2}+\sqrt{b+(c-a)^2}+\sqrt{c+(a-b)^2}$的取值范围

kuing

记 $f=\sqrt{a+(b-c)^2}+\sqrt{b+(c-a)^2}+\sqrt{c+(a-b)^2}$。

由条件得 $\sqrt{a+(b-c)^2}\leqslant \sqrt{a+(b+c)^2}\leqslant \sqrt{a+b+c}=1$，另外两项同理，故 $f\leqslant 3$，而当 $a=1$, $b=c=0$ 时 $f=3$，所以 $f$ 的最大值为 $3$；

由对称性不妨设 $a\geqslant b\geqslant c$，则有
\[f\geqslant \sqrt{\bigl( \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \bigr)^2+(2a-2c)^2},\]
下面证明
\[\bigl( \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \bigr)^2+(2a-2c)^2\geqslant 3,\]
即
\[(a+b+c)\bigl( \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c \bigr)^2+4(a-c)^2\geqslant 3(a+b+c)^2,\]
令 $\sqrt a=x$, $\sqrt b=y$, $\sqrt c=z$，则 $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$，即证
\[(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)^2+4(x^2-z^2)^2\geqslant 3(x^2+y^2+z^2)^2,\]
即
\[4(x^2-z^2)^2\geqslant (x^2+y^2+z^2)\sum(x-y)^2,\]
由 $x\geqslant y\geqslant z$ 有 $(x-y)^2+(y-z)^2\leqslant (x-z)^2$，因此只需证
\[4(x^2-z^2)^2\geqslant 2(x^2+y^2+z^2)(x-z)^2,\]
即
\[2(x-z)^2(x^2-y^2+z^2+4zx)\geqslant 0,\]
显然成立，于是我们得到 $f\geqslant \sqrt3$，当 $a=b=c=1/3$ 时 $f=\sqrt3$，所以 $f$ 的最小值为 $\sqrt3$。

综上，$f$ 的取值范围为 $\bigl[\sqrt3,3\bigr]$。

天音

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