根式函数最大值

郝酒

若$x\geq 0$,则$\displaystyle y = \sqrt{\frac{1}{4+x^2}}+\sqrt{\frac{x}{2+x}}$的最大值是 _________？

kuing

一个坑爹解法：

根据2004年西部数学奥林匹克最后一题的结论，我们有：对任意 $a$, $b$, $c>0$, $abc=1$ 有
\[\sqrt{\frac1{1+a}}+\sqrt{\frac1{1+b}}+\sqrt{\frac1{1+c}}\leqslant\frac{3\sqrt2}2,\]
令 $a=x^2/4$, $b=c=2/x$，则左边就变成 $2y$，所以 $y\leqslant3\sqrt2/4$，当 $x=2$ 时取等，所以这就是最大值。

kuing

嘛，我已经隐约听到有人在说“不用那个结论行不行啊？”，好吧，那就这样撸：

由柯西，有
\begin{align*}
2y&=\sqrt{\frac4{4+x^2}}+\sqrt{\frac x{x+2}}+\sqrt{\frac x{x+2}} \\
&\leqslant \sqrt{\bigl(2(x+2)+4+x^2+x(x+2)\bigr)\left( \frac2{(4+x^2)(x+2)}+\frac x{(x+2)(4+x^2)}+\frac1{(x+2)^2} \right)} \\
&=\sqrt{\bigl(4+x^2+(x+2)^2\bigr)\left( \frac1{4+x^2}+\frac1{(x+2)^2} \right)} \\
&=\sqrt{2+\frac{(x+2)^2}{4+x^2}+\frac{4+x^2}{(x+2)^2}},
\end{align*}
令
\[t=\frac{(x+2)^2}{4+x^2}=1+\frac{4x}{4+x^2}\in(1,2],\]
故
\[2y\leqslant \sqrt{2+t+\frac1t}\leqslant \sqrt{2+2+\frac12}=\frac{3\sqrt2}2,\]
当 $x=2$ 时取等，所以 $y$ 的最大值是 $3\sqrt2/4$。

力工

先用基本不等式,得$\sqrt{\dfrac{1}{x^2+4}}\leqslant \dfrac{\sqrt{2}}{x+2}$，最后转化为求$\dfrac{\sqrt{2}}{x+2}+\sqrt{\dfrac{x}{x+2}}$的最大值。

kuing

回复 4# 力工

怎么不写完它？

力工

求导太坑了。
导函数为$\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2x}}{\sqrt{x}(x+2)^2}$，知函数在$(0,2)$上增，在$(2,\infty )$上减。
所以，最大值在$x=2$时取到。不知是否有误，请大神色k $seesee$.
回复 5# kuing

kuing

回复 6# 力工

不是吧，还用求导吗？
\[\edr
\sqrt{\frac1{x^2+4}}&=\sqrt{\frac2{(1+1)(x^2+4)}}\leqslant \frac{\sqrt2}{x+2},\\
\sqrt{\frac{x}{x+2}}&=\frac{\sqrt{2x(x+2)}}{\sqrt2(x+2)}\leqslant \frac{3x+2}{2\sqrt2(x+2)}
\endedr\riff
y\leqslant \frac{\sqrt2}{x+2}+\frac{3x+2}{2\sqrt2(x+2)}=\frac{3\sqrt2}4.\]

力工

回复 7# kuing

你不是人！是神。我还没修改你就出来结果了。

kuing

回复 8# 力工

[NO]如果我是神，我应该在4楼之前就想到这样做，然而我当时的思路一开始就变成三个根式来玩，就没想其他，可以说是自己禁锢了自己，所以我不是神。

hejoseph

都是基于知道 $x=2$ 取得最大值去凑的结果，不知道或者不是这个值就会出错了。不觉得直接求导是很容易的吗？

hejoseph

令
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{4+x^2}}+\sqrt{\frac{x}{2+x}}，
\]
那么
\[
f'(x)=-\frac{x}{\left(\sqrt{4+x^2}\right)^3}+\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{2+x}\right)^3}，
\]
令 $f'(x)=0$，整理得
\[
\left(4+x^2\right)^3-\left(x(2+x)\right)^3=0，
\]
后面的就非常容易了。

kuing

都是基于知道 $x=2$ 取得最大值去凑的结果，不知道或者不是这个值就会出错了。
hejoseph 发表于 2017-7-8 09:00

对7楼这种解法的确如此，但2楼并不是，我是在变形时发现它是那道西部奥赛题的特例的，事先并不知道取等[得意]

hejoseph

这个题目还是直接求导最容易想到，对其他系数
\[
\frac{a}{\sqrt{4+x^2}}+b\sqrt{\frac{x}{2+x}}
\]
仍然可以的，不过一般会出现三次根号了。

力工

回复 13# hejoseph
可能 有什么几何意义吧，这种题不可能是突然从出题人嘴里如火车般地跑出来。您看是否可能。

敬畏数学

还是求导做吧。省得搞得那么那么复杂。