一个向量问题的计算

力工

设 $\vec{a}, ~ \vec{b}$ 是两个不共线的单位向量，若向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c}=(3-2 \lambda) \vec{a}+(2 \lambda-2) \vec{b}$ ，且 $\left|\vec{c}\right|=\frac{1}{3}$ ，则当 $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|$ 最小时，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为

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-7/9。ONLY 系数相等是。

游客

若 $\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$,
则 $A, ~ B, ~ C$ 三点共线。
要 AB 最小，就是要 $OC \perp A B$ 。

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计算也常规，容易算。

力工

回复 4# 敬畏数学

几何方法就是#游客#老师给的。常规计算是怎么 的？请教

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回复 5# 力工
不用请教啊，客气啦。就是把模（平方）用夹角及那个常数兰布达表示即可，得到夹角余弦表示为兰布达的二次分式函数，求导得一个一元一次方程得到极值点即为最值点。

游客

\begin{aligned}
&(m \vec{a}+n \vec{b})^2=m^2+2 m n \cdot \cos \theta+n^2=\frac{1}{9},(\vec{a}-\vec{b})^2=2-2 \cos \theta .\\
&\text { 要求 } \cos \theta=\frac{1-9\left(m^2+n^2\right)}{18 m n} \text { 的最大值，必须关注 } m, ~ n \text { 的关系。 }
\end{aligned}
不然就是直接变成λ的函数，处理函数问题了。
2次分式形式也是比较常规的。

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回复 7# 游客
好的视角！m+n=1.haha

游客

回复 6# 敬畏数学


    二次分式一般是不求导的，先变成分子或分母只是一次的形式，
再把这个一次的整体换元就可以了。

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回复 9# 游客
求导惰性解法哈哈。