一道向量与最值的试题

aishuxue

已知 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边．若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B C}|=2$ ，则 $b^2-a b$ 的最小值为 $\qquad$ ．

kuing

没什么难度啊，条件化为
\[\frac {b^2+c^2-a^2}2=\sqrt {2c^2+2a^2-b^2}=2,\]
即
\[b^2+c^2-a^2=2c^2+2a^2-b^2=4,\]
消 `c` 得
\[3b^2-4a^2=4,\]
所以
\[b^2-ab\geqslant b^2-\left( a^2+\frac {b^2}4 \right)=\frac {3b^2-4a^2}4=1,\]
当 `a=\sqrt{1/2}`, `b=\sqrt2`, `c=\sqrt{5/2}` 时取等。

aishuxue

谢谢

其妙

可能楼主被那个向量的模吓坏了吧（纸老虎，中线长公式或者直接平方余弦定理亦可），二次的最值变过来变过去的，都被玩坏了。

敬畏数学

看到这个东西，五味杂陈，积木式的问题堆积，其实全是套路。最后没有忘记套一下齐次！