非负，$x+y+z=1$，求$(x+1)\sqrt x+(y+1)\sqrt y+(z+1)\sqrt z$的值域

其妙

发个处女贴，
设$x$，$y$，$z$是非负实数，且$x+y+z=1$，求$(x+1)\sqrt x+(y+1)\sqrt y+(z+1)\sqrt z$的值域。
方法不限，多多益善。

kuing

旧版论坛 kkkkuingggg.5d6d.net/thread-1587-1-1.html（最大值的）

kuing

还是贴过来吧

$x,y,z>0, x+y+z=1$ find max \[\sum (x+1)\sqrt{x}\]
Gauss门徒 发表于 2013-5-22 16:30

由对称性不妨设 $x\leqslant y\leqslant z$，则 $z\geqslant 1/3$, $x+y\leqslant 2/3$。
记 $f(x)=(x+1)\sqrt{x}$，则
\begin{align*}
\left(2f\left(\frac{x+y}2\right)\right)^2-\bigl(f(x)+f(y)\bigr)^2
&=\frac12\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)^2\bigl(2-(x+y)^2+2xy-2\sqrt{xy}(2+x+y)\bigr)\\
&\geqslant \frac12\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)^2\left(2-\frac49+2xy-2\sqrt{xy}\left(2+\frac23\right)\right)\\
&=\frac19\bigl(\sqrt x-\sqrt y\bigr)^2\bigl(1-3\sqrt{xy}\bigr)\bigl(7-3\sqrt{xy}\bigr),
\end{align*}
显然 $\sqrt{xy}\leqslant 1/3$，故我们得到了
\[f(x)+f(y)\leqslant 2f\left(\frac{x+y}2\right)=2f\left(\frac{1-z}2\right),\]
所以只要求
\[g(z)=f(z)+2f\left(\frac{1-z}2\right)\]
在 $[1/3,1]$ 上的最大值。
\[g(z)=(z+1)\sqrt z+\frac{(3-z)\sqrt{1-z}}{\sqrt2},\]
求导得
\[g'(z)=\frac{3z+1}{2\sqrt z}+\frac{3z-5}{2\sqrt2\sqrt{1-z}},\]
有理化右边，有
\[\left(\frac{3z+1}{2\sqrt z}+\frac{5-3z}{2\sqrt2\sqrt{1-z}}\right)g'(z)
=\frac{(3z+1)^2}{4z}-\frac{(3z-5)^2}{8(1-z)}=\frac{(2-3z)(3z-1)^2}{8z(1-z)},\]
故由 $z\leqslant1$ 可知，当且仅当 $z=2/3$ 时 $g(z)$ 取最大值，为
\[g\left(\frac23\right)=\frac{17}{3\sqrt6},\]
即为所求。

以上内容于 2013-5-22 傍晚发表在旧版论坛。

其妙

回复 3# kuing
这里的表情怎么这么少啊，还有这里的公式显示快速的多，还有草稿本可用。
搞忘了原来那里也有啊！对称的式子，但最值并不在三个全相等时候取得。

kuing

回复  kuing
这里的表情怎么这么少啊，还有这里的公式显示快速的多，还有草稿本可用。
搞忘了原来那里也有啊！对称的式子，但最值并不在三个全相等时候取得。
其妙 发表于 2013-7-11 18:44

这里就表情差点。
至于公式显示，本来旧论坛的显示速度也是这样快的，是自从5d6d主站进不了之后才卡慢了。

其妙

回复 3# kuing
这是用凹凸性来做的？

kuing

回复 6# 其妙

no

kuing

忘了说，最小值直接均值 $(x+1)\sqrt x\geqslant 2x$ 即可。

其妙

忘了说，最小值直接均值 $(x+1)\sqrt x\geqslant 2x$ 即可。
kuing 发表于 2013-7-12 13:10

我就只会求最小值，也和你这个方法是一样的。最大值在摸索中。现在停止摸索了。