正三角形,平面向量的数量积

游客

今天被一个题坑了一下：
$\triangle ABC$ 是边长为 2 正三角形， B 在 X 轴正半轴上，
$C$ 在 $Y$ 轴正半轴上，$M$ 为边 $A B$ 的中点，则 $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}$的最大值为?
看着题目，想也没多想，直接找了个变量 $\theta$ 在表示，结果算着有点心累．
题目为什么要给这么个坐标系？可恨呐．．．．．．

方法1 ：用极化恒等式 $(\vv a+\vv b)^2-(\vv a-\vv b)^2=4\vv a \cdot\vv b$．
\[
\begin{aligned}
& \text { 若 } \mathrm{E} \text { 为 } \mathrm{BC} \text { 的中点, } \mathrm{F} \text { 为 } \mathrm{AM} \text { 的中点, 则: } \\
& 4 \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OM}})^2-(\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}})^2 \\
& =4 \mathrm{OF}^2-\mathrm{AM}^2=4(\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{EF}})^2-1 \\
& \leq 4(|\mathrm{OE}|+|\mathrm{EF}|)^2-1=4 \sqrt{7}+10 .
\end{aligned}
\]
方法2：以 BC 为 X 轴， BC 的中垂线为 Y 轴建坐标系，扔掉原来的坐标系， O 点坐标用三角函数表示．
方法3：
\[
\begin{aligned}
& \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OM}}=(\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{EA}}) \cdot (\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{EM}}) \\
& =|\mathrm{OE}|^2+(\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EM}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{EA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{EM}} \\
& \leq 1+|\overrightarrow{\mathrm{EA}}+\overrightarrow{\mathrm{EM}}|+\sqrt{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{2}+\sqrt{7}
\end{aligned}
\]

敬畏数学

回复 1# 游客
法一求出F的轨迹也可以。

走走看看

如果用(OB+BA)·(OB+BM)表示就变成了一元二次函数。
OA·OM=OB^2+3OBcosθ+2
这样表示行吗？

游客

可以的 ，也是出现两变量，还要继续处理的。

isee

回复 1# 游客

题：$\triangle ABC$是边长为 2 的正三角形，点$B$在$x$轴正半轴上，点$C$在$y$轴正半轴上，点$A$在第一象限内，点$M$为边$AB$的中点，则$\vv{OA}\cdot \vv{OM}$的最大值为______.

硬扯下背景的话，点$A$的轨迹是椭圆，于是在本题的坐标系下是比较复杂的（运算量）。

记点$C(0,c),B(b,0)$，则$$\vv{CA}=\vv{CB}\cdot \left(\cos \frac \pi3+\mathrm i\sin\frac \pi3\right)=\frac 12b+\frac{\sqrt 3}2c+\left(\frac{\sqrt 3}2b-\frac 12c\right)\mathrm i.$$

进一步$$\vv{OA}=\vv{OC}+\vv{CA}=\frac 12b+\frac{\sqrt 3}2c+\left(\frac{\sqrt 3}2b+\frac 12c\right)\mathrm i.$$

$$\vv{OM}=\frac 12(\vv{OA}+\vv{OB})=\frac 34b+\frac{\sqrt 3}4c+\left(\frac{\sqrt 3}4b+\frac 14c\right)\mathrm i.$$

所以$$\vv{OA}\cdot \vv{OM}=\frac 34b^2+\frac{3\sqrt 3}4bc+\frac 12c^2.$$

又$$b^2+c^2=4\Rightarrow b=2\cos\theta>0,c=2\sin\theta>0.$$

于是$$\vv{OA}\cdot \vv{OM}=\frac{3\sqrt{3}}3\sin 2\theta-\frac 12\cos 2\theta+\frac 52=\sqrt 7\sin(\theta+\varphi)+\frac 52,\tan \varphi=-\frac{\sqrt 3}9.$$

走走看看

回复 5# isee

可设∠OAC=θ，则A（2cosθ，0），M（2cosθ+cos（120°-θ），sin（120°-θ））。

则 $\vv{OA}·\vv{OM}=4cos^2θ+2cosθcos（120°-θ）=3cos^2θ+\sqrt{3}sinθcosθ=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ+\frac{3}{2}cos2θ  ≤\frac{3}{2}+\sqrt{3}$

走走看看

回复 1# 游客

设∠BCO=θ，则C（2cosθ，0），A（2cosθ+2cos（120°-θ），2sin（120°-θ）），M（2cosθ+cos（120°-θ），sin（120°-θ））

很容易化简$\vv{OA}\vv{OM}=cos^2θ+3\sqrt{3}sinθcosθ+2≤\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{27+1}{4}}=\frac{5}{2}+\sqrt{7}$。