证明$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geqslant ab+bc+ca$

isee

差不多看了一上午的不等式，头晕眼花，来个简单的不等式，转换下”心情“。

题：若$a,b,c$为正实数，且$a+b+c=3$，求证：$\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geqslant ab+bc+ca$.

删广告专用

`\sqrt[3]a+\sqrt[3]b+\sqrt[3]c\geqslant ab+bc+ca` [阴险]

kuing

没人鸟吗，好吧，见《数学空间》2011 年第 3 期 P.27~28 例 3.2.2（楼主的）及 P.29~30 例 3.2.4（楼上的）。

O-17

比较暴力的方法...
齐次化, 等价于证
$$
\left(\sum a\right)^2\left(\sum a^2\right)^3\geqslant\left(\sum a^2b^2\right)^2
$$
注意到
\begin{align*}
&\left(\sum a\right)^2\left(\sum a^2\right)^3-\left(\sum a^2b^2\right)^2\\
&=\frac12\sum(a-b)^8+6\sum ab(a-b)^6+26\sum a^2b^2(a-b)^4+48\sum a^3b^3(a-b)^2\\
&~~~~~+\sum c^4(a-b)^4+2\left(\sum ab\right)\left(\sum ab(a-c)^2(b-c)^2\right)\\
&~~~~~+\left(\prod a\right)\left(14\sum c^3(a-b)^2+2\sum a^3(a-b)(a-c)+6\sum c(a^2+ab+b^2)(a-b)^2\right)\\
&\geqslant0.~\square
\end{align*}
配的可能不太好, 毕竟是八次, 然后又很松, 所以没怎么动脑子, 就看到什么消什么了...