三个向量和的绝对值的 最小值 几何画图怎么做？

realnumber

几何办法想不出

平面向量$\vv{a},\vv{b},\vv{c}$，满足$\abs{\vv{a}}=\abs{\vv{b}} \ne 0$,$\vv{a}\cdot \vv{b}=0,\abs{\vv{c}}=\sqrt{2},\abs{\vv{a}-\vv{c}}=1$,求$\abs{\vv{a}+\vv{b}+\vv{c}}$的最小值.


代数是这样做的，$\vv{c}=(\sqrt{2},0),\vv{a}=(x,y),\vv{b}=(-y,x),(x-\sqrt{2})^2+y^2=1$,$x-\sqrt{2}=\cos \alpha ,y=\sin \alpha$
$\abs{\vv{a}+\vv{b}+\vv{c}}^2=12+2\sqrt{2}[2(\cos \alpha-\sin \alpha)+(\cos \alpha+ \sin \alpha)]$
$(\cos \alpha-\sin \alpha)^2+(\cos \alpha+\sin \alpha)^2=2$再三角换元即可

kuing

C(1,1)，A 在绿圆上动，B 为 A 绕 O 逆时针旋转 90°。
作正方形 OADB，连 CD 及取中点 M，则 `\bm a+\bm b+\bm c=2\vv{OM}`。
由 OAD 是等腰 Rt△ 知 D 的轨迹是以 (0,2) 为圆心，`\sqrt2` 为半径的圆。
再由 M 是 CD 中点知 M 的轨迹是以 (0.5,1.5) 为圆心，`\sqrt2/2` 为半径的圆。
由此易见 2|OM| 的最小值为 `\sqrt{10}-\sqrt2`。（顺带最大值为 `\sqrt{10}+\sqrt2`）

如果 B 是顺时针旋转，则轨迹与上面的关于 OC 对称，所以结果是一样的。

kuing

回复 1# realnumber

你倒数第二行 `=12+2\sqrt{2}[2(\cos \alpha-\sin \alpha)+(\cos \alpha+ \sin \alpha)]` 后可以 CS `\ge12-2\sqrt2\sqrt{(4+1)[(\cos \alpha-\sin \alpha)^2+(\cos \alpha+ \sin \alpha)^2]}=12-4\sqrt5`，开荒后就是 `\sqrt{10}-\sqrt2`，答案与 2# 一致。

走走看看

回复 2# kuing


$由 OAD 是等腰 Rt△ 知 D 的轨迹是以 (0,2) 为圆心， \sqrt{2}为半径的圆。$

请问Kuing这个圆心和半径是如何得到的？

走走看看

祝大家 年年青春，岁岁喜庆！

走走看看

玖在想明白了，建立参数方程，然后化成直角方程即可。

kuing

回复 4# 走走看看

位似旋转变换

走走看看

回复 7# kuing

$A的轨迹是以（1,1）为圆心半径为1的圆，D的轨迹是半径为\sqrt{2}的圆。旋转了45°，圆心怎么由（1,1）变成（0,2）的呢？请大师们赐教！$

走走看看

想明白了！谢谢Kuing！

其妙

这道题我已找到装逼的方法，很短的放缩就解决它，但是没时间写代码，晚点再玩

走走看看

回复 10# 其妙

等着啊。

kuing

其妙 发表于 2022-2-10 14:43
这道题我已找到装逼的方法，很短的放缩就解决它，但是没时间写代码，晚点再玩 ...

晚点再玩然后就没下文了😒

其妙

kuing 发表于 2023-5-28 17:15
晚点再玩然后就没下文了😒

现在居然忘了！😭